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1、从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件提出相应的定解问题第一章 数学建模和基本原理介绍 热量，是指在热力系统与外界之间依靠温差传递的能量。热量是一种过程量，所以热量只能说“吸收”“放出”。 热力学第一定律：系统在任一过程中包括能量的传递和转化，其总能量的值保持不变。也即能量守恒 傅里叶定律：在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反 准 备 知 识2. *通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有
2、向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),( RQPA SnA d zRyQxPAA div ( n 为 的单位法向量） ( )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdyx y z 高斯公式由两类曲面积分之间的关系知( ) ( cos cos cos ) .P Q R dvx y zP Q R dS Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.1.1 数学模型的建立 数学模型建立的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究
3、物理量的影响， 表达为数学式;简化整理，得到方程。 2 热传导动方程第一节 热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻 的温度为 。模型：问题：研究温度 的运动规律。G ( , , )x y zt ( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t分析：（两个物理定律和一个公式） 1、热量守恒定律:2、傅里叶（Fourier）热传导定律:温度变化吸收的热量 通过边界流入的热量 热源放出的热量( , , ) ,udQ k x y z dSdtn 为热传导系数。( , , )k x y z 3、热量公式: Q cmu任取物体 内一个
4、由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。1Q热传导方程的推导：G S 热量守恒定律 区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 1t2t 1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t1t 2tS 内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量 Q S2Q下面分别计算这些热量( , , ),c c x y z （1） 内温度变化所需要的能量 QG那么包含点 的体积微元 的温度从 变为
5、所需要的热量为 1 C2 1 ( , , , ) ( , , , )dQ c u x y z t u x y z t dV dV设物体 的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量为 密度为 ( , , ),x y z ( , , )x y z 1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t 整个 内温度变化所需要的能量 Q2 21 1 2 1 ( , , , ) ( , , , )( ) (1.1)t tt tQ dQ c u x y z t u x y z t dVu uc dt dV c dV dtt t （2）通过曲面 进入 内的热量 1QS由傅里叶热传导定
6、律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为 2t1t S211 ( , , ) ,tt S uQ k x y z dSdtn 由高斯公式 xSdivAdxdydz A ndS 知211 ( ( ) ( ) ( ) .(1.2)tt u u uQ k k k dV dtx x y y z z （3）热源提供的热量 2Q用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热源所提供的热量为( , , , )F x y z t 2t1t212 ( , , , ) (1.3)ttQ F x y z t dV dt 由热量守恒定律得：2 21 121 ( ( ) ( ) (
7、) ( , , ,) t tt ttt u u u uc dVdt k k k dV dtt x x y y z zF x y z t dVdt 由 及 的任意性知1 2,t t( ) ( ) ( ) ( , , , ).(1.4)u u u uc k k k F x y z tt x x y y z z 三维无热源热传导方程：2 2 22 2 2 2 0 . (1.6)u u u uat x y z 三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体）2 2 22 2 2 2 ( , , , ), (1.5)u u u ua f x y z tt x y z 2 , ,k F
8、a f fc c 其中 称为非齐次项（自由项）。, ,c k通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：( , , , ) ( , , ), ( , , ) , 0: (1.7)u x y z t x y z x y z G t 边界条件：1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）特别地： 时，物体表面保持恒温。( , , , ) 0g x y z t ( , , , ), ( , , ) , 0, (1.8)u g x y z t x y z t ( )G 2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）( , ,
9、 , ) 0g x y z t 特别地： 时，表示物体绝热。3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )( , , , ), ( , , ) , 0, (1.9)uk g x y z t x y z tn ( , , , ), ( , , ) , 0, (1.10)u u g x y z t x y z tn 1 1 10, .k kg uk k 其中： 表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方向导数u nun注：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为 ，它与物体表面的温度 并不相同
10、。这给出了第三边界条件的提法。1( , , , )u x y z t ( , , , )u x y z t ( , , , )u x y z t热传导试验定律或牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：1 1( ) , (1.11)dQ k u u dSdt 其中比例常数 称为热交换系数1 0k 流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：1 1( ) ,uk dSdt k u u dSdtn 或 1 1( ).uk k u un ( , , )( )| ( , , , ).x y zu u g x y z tn 即得到（1.10）：例 长为l
11、 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q ，写出这个热传导问题的边界条件。在边界上有：若端点是绝热的，则解： uq k n 0| qqxuknuk nlxlx x=l处： 0| 0 xlx xuxu xq0 q0n nkqxu x 00| x=0处： 0 00| ( )x nxu uk k q qn x kqxu lx 0| 三、定解问题定义1 在区域 0, )G 上，由偏微分方程、初始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题。 21 20, 0 , 0,0 ( ), 0 , 0, ( ), , , ( ), 0, 0.t xx xu a u x l tu x x
12、x l tu o t t u l t hu l t t t h 例如三维热传导方程的第一初边值问题为：2 0( , , )( ) ( , , , ), ( , , , ) , 0,( , , , )| ( , , ), ( , , , ) ,| ( , , , ), 0.t xx yy zztx y zu a u u u f x y z t x y z t tu x y z t x y z x y z tu g x y z t t 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：定义2 在区域 3 0, )R 上，由偏微分方程和初2 330( ) ( , , , ), ( , , , ) , 0,( , , , )| ( , , ), ( , , , ) .t xx yy zztu a u u u f x y z t x y z t R tu x y z t x y z x y z t R
