《2.10微专题：正、余弦定理在解三角形中的应用参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.10微专题：正、余弦定理在解三角形中的应用参考答案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 正 余弦定理在解三角形中的应用 正 余弦定理在解三角形中的应用 1 解 方法一 如图 B C BAD 75 延长 BA CD 交于点 E 则可知 BE CE 且在 ADE 中 DAE 105 ADE 45 E 30 在 BEC 中 由正弦定理可得 BE CE BCsin75 sin30 6 2 由题意可得 DE 0 6 2 在 ADE 中 由正弦定理可得 AE DEsin45 sin105 3 1 DE 所 以 AE 0 2 2 又因为 AB BE AE 所以 AB 的取值范围是 6 2 6 2 方法二 如图 构造 BEC 使得 B BCE 75 则 BEC 30 取 BE 边上一点 A
2、CE 边上一点 D 使得 BAD 75 若平移 AD 使点 D 与点 C 重合 此时四边形 ABCD 化为 A BC 且可在 A BC 中利用正弦定理求得 A B 2sin30 sin75 6 2 若平移 AD 使点 D 与点 E 重 合 此时四边形 ABCD 化为 BEC 且可在 BEC 中利用正弦定理求得 BE 2sin75 sin30 6 2 又因为 ABCD 是平面四边形 所以点 D 应在点 C 与点 E 之间 且不与点 C 与点 E 重合 所以 AB 的取值范围是 6 2 6 2 2 解 方法一 在ABC 中sincos3cossin ACAC 则由正弦定理及余弦定理有 c bc a
3、cb ab cba a 2 3 2 222222 化简并整理得 222 2 acb 又由已知 22 2acb 2 4bb 解得40 bb 或舍 方法二 由余弦定理得 222 2cosacbbcA 又 22 2acb 0b 所以2 cos2bcA 又sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC sin 4cossinA CAC 即sin4cossinBAC 由正弦定理得sinsin b BC c 故4 cosbcA 由 解得4b 3 解 1 边化角 由 asin Asin B bcos2A 2a 及正弦定理 得 sin Asin Asin B sin B
4、cos2A 2sin A 即 sin B 2sin A 所以b a sin B sin A 2 2 角化边 由题意 得 sin Acos C cos Asin C 2cos Asin C 即 sin Acos C 3cos Asin C 由正弦 余弦定理 得 a a2 b2 c2 2ab 3c b2 c2 a2 2bc 2 整理得 2 a2 c2 b2 又 a2 c2 b 联立 得 b 2 4 解 显然PA 两点关于折线DE对称 连结DP 图 2 中 设 BAP 2 BDP 再设xAD 所以xDP xDB 10 在ABC 中 120180 BAPABPAPB o 在BDP 中 由正弦定理知 B
5、PD BD sinDBP DP sin 即 60sin 2120sin 10 xx o 所以 3 2120sin 2 310 x 因为 oo 600 所以 12021200 o 所以当 902120 即 o 15 时 1 2120sin 此时x取得最小值 30320 32 310 且 o ADE75 所以AD的最小值为30320 5 解 1 由正弦定理得 b sinB c sinC 又 3bsinC ccosB C 3sinBsinC cosBsinC sinC ABC 中 sinC 0 所以 3sinB cosB 1 所以 sin B 6 1 2 6 B 6 5 6 B 6 6 所以 B 3
6、 2 因为 b2 ac 由正弦定理得 sin2B sinAsinC 1 tanA 1 tanC cosA sinA cosC sinC cosAsinC sinAcosC sinAsinC sin A C sinAsinC sin B sinAsinC sinB sinAsinC 所以 1 tanA 1 tanC sinB sin2B 1 sinB 1 3 2 2 3 3 6 解 1 依题意 32 A 2 3 4 T T 所以 6 xy 6 sin32 令4 x得 3 4 M 又 3 8 P 所以534 22 MP 2 方法一 在MNP 中5 120 MPMNP 设 PMN 则 600 3 由正弦定理得 60sin sin120sin MNNPMP 所以 60sin 3 310 sin 3 310 MNNP 60sin 3 310 cos 3 3 sin 2 1 3 310 又 600 所以当 30 时 MNNP 有最大值 亦即 将OMN 设计为 30时 折线段赛道 MNP最长 方法二 由余弦定理得MNPNPMNNPMNMP cos2 222 即25 22 NPMNNPMN 故 22 2 25 NPMN NPMNNPMN 解之得 3 310 NPMN 当且仅当NPMN 时 折线段赛道MNP最长
