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1、能力练(一)空间想象能力一、选择题1已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()A B. C. D.解析：对于，存在一个平面，则，反之也对，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除B，C；对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90，即，反之也对，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除A，选D.答案：D2如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正
2、方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体AOEF中，下列说法不正确的序号是()AO平面EOF；AH平面EOF；AOEF；AFOE；平面AOE平面AOF.A B. C. D.解析：OAOE，OAOF，OEOFO，OA平面EOF，故正确，错误；EF平面EOF，AOEF，故正确；同理可得OE平面AOF，OEAF，故正确；又OE平面AOE，平面AOE平面AOF，故正确；因此，不正确的序号是.答案：B3(2018洛阳第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球O的体积为()A. B.C. D.A解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱
3、长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V R3.4如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则棱柱的侧视图面积为()A8 B.2 C. D.4解析：侧视图为一矩形(如图所示)，其高AB等于侧棱长，即AB4，底边BC等于底面三角形边的高，即BC42，侧视图的面积为428.答案：A5已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B.2 C.4 D.3解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16，所以该球
4、的半径为R2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是2.答案：A6如图，直三棱柱ABCABC中，ABC是边长为2的等边三角形，AA4，点E，F，G，H，M分别是边AA，AB，BB，AB，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动(包括边界)，并且始终有MP平面ACCA，则动点P的轨迹长度为()A2 B.2 C.2 D.4D解析：连接MF，FH，MH，易证明MF平面AACC，FH平面AACC，又MF平面MFH，HF平面MFH，MFHFF，所以平面MFH平面AACC，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4.二、填空题7四棱锥
5、PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有对解析：由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对答案：68如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为.解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH，BEFH，AFH即为异面直线AF与BE所成的角过A作AGEF于G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三角形设正方形边长为2，则E
6、F，HE，EG，HG ，AH .由余弦定理知cos AFH.答案：9如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_解析：沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图，则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120，VAVA2.在VAA中，由余弦定理可得AA6.答案：6三、解答题10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，M，N分别为棱PD，PC的中点求证：(1)MN平面PAB；(2)AM平面PCD.解析：证明：(1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MNDC.因为底
7、面ABCD是矩形，所以ABDC，所以MNAB.又AB平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为APAD，M为PD的中点，所以AMPD.因为平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，又AM平面PAD，所以CDAM，因为CD平面PCD，PD平面PCD，CDPDD，所以AM平面PCD.11已知四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC交BD于F，E为PA的中点，PC3，且PC平面ABCD.(1)求证：平面EBD平面ABCD；(2)若三棱锥PBCF的体积为，求点E到平面PBC的距离解析：(1)证明：在四棱锥PAB
8、CD中，底面是菱形，ACBDF，则F为AC的中点，连接EF，又E为AP的中点，EFPC.又PC平面ABCD，EF平面ABCD，而EF平面EBD，平面EBD平面ABCD.(2)EFPC，EF平面PBC，E到平面PBC的距离即是F到平面PBC的距离，亦即三棱锥FPBC的高h.由等体积法得VFPBCVPBCF，PCBCh32hh，点E到平面PBC的距离为.12如图，四边形ABCD为等腰梯形，且ADBC，E为BC的中点，ABADBE.现沿DE将CDE折起成四棱锥CABED，点O为ED的中点(1)在棱AC上是否存在一点M，使得OM平面CBE？并证明你的结论；(2)若AB2，求四棱锥CABED的体积的最大
9、值解析：(1)存在，当M为AC的中点时，OM平面CBE.证明如下：连接MO，CO，取BC的中点F，连接EF，MF，如图所示MF为ABC的中位线，MFAB且MFAB.在等腰梯形ABCD中，AD綊BE，四边形ABED为平行四边形，AB綊DE.O为ED的中点，MF綊OE，四边形EFMO为平行四边形，OMEF.EF平面CBE，OM平面CBE，OM平面CBE.(2)底面四边形ABED的面积不变，要使四棱锥CABED的体积最大，只需顶点C到平面ABED的距离最大，即只需平面CDE平面ABED.COED，平面CDE平面ABEDED，CO平面CDE，CO平面ABED，CO为四棱锥CABED的高，且CO.易知S四边形ABED2，四棱锥CABED的最大体积VmaxS四边形ABEDCO2.7
