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1、4.圆锥曲线1在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2)(1)求抛物线C的方程；(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|PN|.求直线AB的斜率解(1)依题意，设抛物线C的方程为y2ax(a0)，由抛物线C经过点P(1,2)，得a4，所以抛物线C的方程为y24x.(2)因为|PM|PN|，所以PMNPNM，所以12，所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y2k(x1)(k0)，将其代入抛物线C的方程，整理得k2x22(k22k2)xk24k40.设A(x1，
2、y1)，则1x1，y1k(x11)22，所以A，以k替换点A坐标中的k，得B.所以kAB1.所以直线AB的斜率为1.2在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)和直线l：x4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P.(1)求圆心C的轨迹E的方程；(2)过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A，B，求PAB面积的取值范围解(1)设圆心C(x，y)，则圆心C到点F的距离等于它到直线l距离的一半，|4x|，化简得圆心C的轨迹方程为1.(2)设直线m的方程为xky1，由得(3k24)y26ky90，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1
3、y2，y1y2，|y1y2|12，PAB的面积S|y1y2|PF|18.设tk211，则，设f(t)9t6，t1，则f(t)90，f(t)在1，)上单调递增，f(t)f(1)16，S18，即PAB面积的取值范围为.3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，直线l与椭
4、圆交于两点，64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0.设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，k2，整理得km(x1x2)m20，m20，又m0，k2，结合图象(图略)可知k，故直线l的斜率为定值4已知抛物线：x22py(p0)，直线y2与抛物线交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|4.(1)求抛物线在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求QMN面积
5、的最大值解(1)由x22py，令y2，得x2，所以44，解得p3，所以x26y，由y，得y，故.所以在A点的切线方程为y2(x2)，即2xy20，同理可得在B点的切线方程为2xy20.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得x26kx6m0，36k224m0，所以x1x26k，x1x26m，故|MN|2.又y1y2k(x1x2)2m6k22m4，所以m23k2，所以|MN|2，由36k224m0，得k且k0.因为MN的中点坐标为(3k,2)，所以MN的垂直平分线方程为y2(x3k)，令x0，得y5，即Q(0,5)，所以点Q到直线kxy
6、23k20的距离d3，所以SQMN233.令1k2u，则k2u1，则1u，故SQMN3.设f(u)u2(73u)，则f(u)14u9u2，结合1u0，得1u；令f(u)0，得u0，即m24.y1y22m，y1y22m24.|y1y2|2.|x1x2|y1y2|m|.所以ABF的面积S|m|x1x2|m2.令0gm24，u4g2g3，则u8g3g2，令8g3g20，得g.当0g0，当g4时，ub0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为
7、4.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：xmy4(mR)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，直线AB交x轴于点D，求当ADB的面积最大时，直线l的方程解(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4ab4，得ab2.延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为F1PF2的外角平分线的垂线，所以|PF2|PR|，Q为F2R的中点，所以|OQ|a，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1. (2)联立消去x，得(3m24)y224my360，所以(24m)2436(3m24)144(m24)0，即m24. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，由根与系数的关系，得y1y2，y1y2，直线AB的斜率k，所以直线AB的方程为yy1(xx1)，令y0，得xD4，故xD1，所以点D到直线l的距离d，所以SADB|AB|d18.令t(t0)，则SADB18，当且仅当3t，即t2m24，即m24，m时，ADB的面积最大，所以直线l的方程为3x2y120或3x2y120.
