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1、机械系统可靠性和可靠性灵敏度分析的MonteCarlo数值模拟法 授课教师 黄贤振 图1机械系统的分类 机械系统是指由多个机械基本要素 如机械零 部件 机构 机器等 组成的 可以完成所需动作 或动作过程 实现动作的传递和力的变换以及机械能的转化和利用的装置 1机械系统 2机械可靠性 应力分析 应力分布参数 强度分析 强度分布参数 机械可靠性模型 应力是指对产品功能有影响的各种因素 比如机械应力 变形 磨损等 强度是指产品承受应力的能力 比如机械强度 刚度 抗裂度等 假定机械系统的强度随机变量xR 应力随机变量为xS 机械系统极限状态函数 功能函数 为 极限状态的定义为 整个机械系统的一部分超过
2、某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求 此特定状态为该功能的极限状态 2机械可靠性 xS dxS 应力xS落在附近dxS小区间内的概率为 在应力xS落在小区间dxS内的条件下 强度xR小于应力xS的概率为 应力xS落在小区间dxS内 同时强度xR小于应力xS的概率为 根据可靠度的定义 对于应力xS所有的可能值强度xR均小于应力xS的概率 及事件 xR xS 的边缘概率就是机械系统的可靠度 对上式的求和 2机械可靠性 同理 也可以求得失效概率的另一种表达式 2机械可靠性 具有n设计变量的机械系统的功能函数可以表示为 则极限状态方程g x1 x2 xn 0将结构的基本随机变量空间分为失效域和
3、可靠区域两部分 2机械可靠性 式中 f xi i 1 2 n 为随机变量xi的概率密度函数 MonteCarlo可靠性分析方法又称随机抽样法 概率模拟法或统计试验法 该方法是通过随机模拟或者说统计试验来进行结构可靠性分析的 由于它是以概率和数理统计理论为基础的 故被无理学家以赌城MonteCarlo来命名 3MonteCarlo可靠性分析 3MonteCarlo可靠性分析 3 1MonteCarlo模拟的理论基础 3MonteCarlo可靠性分析 3MonteCarlo可靠性分析 3 2MonteCarlo可靠性分析的原理与计算公式 1 MonteCarlo方法求解失效概率估计值的计算公式 失
4、效概率可以改写成下式所示的失效域指示函数IF x 的数学期望形式 式中 为失效域指示函数 Rn为n维变量空间 E 为数学期望算子 3MonteCarlo可靠性分析 失效概率为失效域指示函数的数学期望 依据大数定律 失效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值来近似 即随机变量的联合概率密度函数fX x 抽取N个样本xj j 1 2 N 落入失效域F内样本点的个数Nf与总样本点的个数N之比即为失效概率的估计值 1 3MonteCarlo可靠性分析 2 MonteCarlo失效概率估计值的方差分析 3MonteCarlo可靠性分析 由上式可知 即为Pf的无偏估计 在数值模拟的过程中 以指
5、示函数IF x 的样本均值近似代替E IF x 则失效概率估计值的期望可以近似表达为 3MonteCarlo可靠性分析 失效概率估计值的方差可以通过对式 1 两边求方差得如下 由于样本方差依概率收敛于母体的方差 所以可以用IF 的样本方差 2 3MonteCarlo可靠性分析 将上式代人式 2 可得失效概率估计值的方差估计为 进而得到估计值的变异系数为 指示函数IF x 方差的无偏估计可以进一步表达为 3MonteCarlo可靠性分析 IF xj 方差的无偏估计 依据随机变量的分布形式和参数 由随机样本的产生方法产生N组随机样本向量的样本xj xj1 xj2 xjn j 1 2 N 将随机向量
6、样本xj代人极限状态方程 并根据状态指示函数IF xj 进行累加 求得失效概率估计值 估计失效概率估计值的方差及变异系数 3MonteCarlo可靠性分析 常见分布随机数生成函数的调用格式 3MonteCarlo可靠性分析 由均值和方差求 型极小值分布的分布参数 mu meanparametersigma standarddeviationparameter mu locationparametersigma scaleparameter 5MonteCarlo可靠性分析 5MonteCarlo可靠性分析 采用向量运算代替循环提高Matlab计算效率 4可靠性灵敏度 可靠性灵敏度定义为基本随机
7、变量分布参数的变化引起失效概率变化的比率 在数学上可靠性灵敏度是由失效概率Pf对基本随机变量分布参数 x的偏导数予以表达 即 可靠性灵敏度反应了基本变量分布参数对失效概率的影响程度 无量纲正则化的可靠性灵敏度可以给出基本变量分布参数对可靠度的重要排序 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 可靠性灵敏度为失效概率Pf对基本随机变量xi的分布参数 i 1 2 n k 1 2 mi 其中mi为第i个变量xi的分布参数的总数 的偏导数 将失效概率的积分公式对分布参数求导数 便可以得到可靠性灵敏度如下所示 5 1MonteCarlo可靠性灵敏度估计的计算公式 将可靠性灵敏度定义式做如下变换 可使可靠性
8、灵敏度变成数学期望的形式 之后就可以采用MonteCarlo数值模拟来估计可靠性灵敏度 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 xj是按联合概率密度函数fX x 抽取N个样本中的第j个样本 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 当x为相互独立的n维正态随机变量时 可靠性灵敏度为 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 2 MonteCarlo可靠性灵敏度估计的方差分析 对可靠性灵敏度估计值计算表达式两边求数学期望 由于样本点xj与母体x独立同分布 所以可以用样本的均值近似代替总体的期望 于是可以得到MonteCarlo可靠性灵敏度分析结果的数学期望为 故MonteCarlo可靠性灵敏度估计值为无偏估计 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 用样本方差近似代替母体方差 可得MonteCarlo可靠性灵敏度估计值得方差如下 而估计值得变异系数为 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析 5MonteCarlo可靠性灵敏度分析
