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1、考点测试48立体几何中的向量方法高考概览考纲研读1理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用5能用向量法解决空间的距离问题一、基础小题1若平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确答案C解析因为cosn1n20且cosn1，n21，所以，相交但不垂直2两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两
2、平面的一个法向量n(1，0，1)，则两平面间的距离是()A B C D3答案B解析两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|n0|3已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150答案A解析因为cosm，n，所以l与所成角满足sin|cosm，n|，又，所以304如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A B C D答案A解析不妨令CB1，则CACC12故O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，
3、1)，所以(0，2，1)，(2，2，1)，所以cos，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为故选A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A B C D答案B解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，6已知向量A(2，2，1)，A(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是()A， B，C，1，1 D，答案D解析设平面ABC的一个法向量是n(x，y，z)，则取z1，得x，y1则n，1，1，|n|，故平面ABC的单位法向量是，故选
4、D7如图，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2ABCDCB，则二面角ABCD的大小为()A B C D答案B解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小，而2()22222|cos，2|cos，2|cos，2222|cos，即1214922cos，cos，与所成角为，即二面角ABCD的大小为故选B二、高考小题8(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A B C D答案C解析以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，)，D
5、1(0，0，)，所以(1，0，)，(1，1，)，因为cos，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C9(经典江西高考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2，3，4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8，6，0)处在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为yx，与直线DC的方程y7联立得F由两点间的距离公式得E1F，tanE
6、2E1FtanEAE1，E2FE1FtanE2E1F4E2F11248故选C10(2015四川高考)如右图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析建立空间直角坐标系，转化为向量进行求解以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y，2)(0y2)，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，(1，y，2)，|，(2，1，0)，|，cos令t2y，要使cos最大，显然00)，则A(a，0
7、，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，E，1又G为ABD的重心，G，易得，(0，a，1)点E在面ABD上的射影是ABD的重心G，G面ABD0，解得a2，(2，2，2)面ABD，G为面ABD的一个法向量，设A1B与面ABD所成角为，sin|cos，|，cosA1B与平面ABD所成角的余弦值为，故选B13(2018九江模拟)在四棱锥PABCD中，A(4，2，3)，A(4，1，0)，A(6，2，8)，则这个四棱锥的高h()A1 B2 C13 D26答案B解析在四棱锥PABCD中，A(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，设平面ABCD的法向量为n(x，y，z)，则即
8、设y4，则n1，4，所以cosn，A，所以h|A|cosn，A|22故选B14(2018合肥模拟)如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A BC D答案D解析连接BD交AC于点O，连接OF以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设PAADAC1，则BD，所以B，0，0，F0，0，C0，0，D，0，0易知O0，0为平面BDF的一个法向量由B，0，F，0，可求得平面BCF的一个法向量为n(1，)，所以cosn，O，由题图知二面角CBFD的平面角为锐角，所以sinn，所以tann，故
9、选D15(2018广东珠海四校模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为_答案解析解法一：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，连接D1B，所以(1，1，0)，(0，1，1)，(1，1，2)，设n(x，y，z)是平面BDE的法向量，所以有即令x1，则y1，z1，所以面BDE的一个法向量为n(1，1，1)，则点D1到平面BDE的距离d解法二：连接D1B，D1E，由题意可知BC平面DD1E，设点D1到
10、平面BDE的距离为h，由VD1BDEVBDD1E得SBDEhSD1DEBC，即h，点D1到平面BDE的距离为16(2018辽宁模拟)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC，ABACA1A1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点(不包括端点)若GDEF，则线段FD的长度的取值范围是_答案，1解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B1(0，1，1)，C(1，0，0)，C1(1，0，1)，G0，1，E1，0，设D(x，0，0)，F(0，y，0)(x，y(0，1)，则Gx，1，E1，y，GDEF，GE0，即xy0，xy，在RtAFD中，F
11、D，0y1，当y时，FD取得最小值，当y1时，FD1，当y0时，FD线段FD的长度的取值范围为，1一、高考大题1(2018浙江高考)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值解(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz由题意知各点坐标如下：A(0，0)，B(1，0，0)，A1(0，4)，B1(1，0，2)，C1(0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0，2，3)由0得AB1A1B1由0得AB1A1C1所以AB1平面A1B1C1(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为由(1)可知(0，2，1)，(1，0)，(0，0，2)设平面ABB1的法向量n(x，y，z)由即可取n(，1，0)所以sin|cos，n
