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1、专题集训七 最值范围证明问题 1.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若MNAB,求直线l的方程;(2)证明:点M在以线段AB为直径的圆上.2.2018广东揭阳模拟 在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,垂足为A,点Q在线段AP上,且|AP|=2|AQ|.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与轨迹C相交于M,N两点,且MN的中点在直线x=1上,求实数k的取值范围.3.2018河北承德联考 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长是短轴长的22倍,且椭圆C经过
2、点A2,22.(1)求椭圆C的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线交椭圆C于M,N两点,|MN|=22,记直线在y轴上的截距为m,求m的最大值.4.2018辽宁抚顺模拟 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A12,354,且两个焦点F1,F2的坐标分别为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设E,F是椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,直线OE的斜率为k1,直线OF的斜率为k2,若k1k2=-1,证明直线EF与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.5.已知曲线M由抛物线x2=-y及抛物线x2=4y组成,直线l:y=kx-3(k0)与曲线M有m(mN)个交
3、点.(1)若m3,求k的最小值;(2)若m=4,自上而下记这4个交点分别为A,B,C,D,求|AB|CD|的取值范围.6.2018广东茂名模拟 已知椭圆C1以直线mx+y-5=0所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)已知椭圆C2的中心为原点O,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的(1)倍,过点C(-1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两点,若AC=2CB,求OAB的面积取得最大值时直线l的方程.专题集训(七)1.解:(1)根据题意知kMN=-1,由于MNAB,所以kAB=1,于是直线l的方程为y-(-2)=1(x-5),即x-y-7=0
4、.(2)证明:由于点M在抛物线上,所以可得抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5,与抛物线方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,故y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,因为MA=(x1-1,y1-2),MB=(x2-1,y2-2),所以MAMB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(8m+20)216-m(4m)-4m-10+1-(8m+20)-2(4m)+4
5、=0,所以AMB=90,故点M在以线段AB为直径的圆上.2.解:(1)设P(x0,y0)(x02),Q(x,y),由|AP|=2|AQ|,得x0=x,y0=2y,点P在圆x2+y2=4上,即x02+y02=4,x2+(2y)2=4,即x24+y22=1,点Q的轨迹C的方程为x24+y22=1(x2).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),若直线l与x轴平行,则MN的中点在y轴上,与已知矛盾,所以k0.把y=kx+m代入x24+y22=1,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,则=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-4)=8(4k2+2-m2),由0,得4k2+2m2,由x1
6、+x22=-2km2k2+1=1,得-2km=2k2+1,即m=2k2+1-2k,所以4k2+22k2+1-2k2,解得k216,所以k的取值范围是-,-6666,+.3.解:(1)因为a=22b,所以椭圆C的方程为x28b2+y2b2=1,把点A2,22的坐标代入椭圆的方程,得48b2+12b2=1,所以b2=1,a2=8,故椭圆C的方程为x28+y2=1.(2)设直线的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),由x28+y2=1,y=kx+m得(1+8k2)x2+16kmx+8m2-8=0,由=256k2m2-32(m2-1)(1+8k2)0,得m21),则k2=t-1,所以
7、m2=-32t2+84t-494t,则m2=21-8t+494t21-142,当且仅当8t=494t,即t=728时取等号,此时k2=72-88,m2=21-142,满足m20时,得x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-123+4k2.因为k1k2=-1,且点E,F在直线y=kx+b上,所以(kx1+b)(kx2+b)=-x1x2,整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,即(k2+1)4b2-123+4k2+bk-8kb3+4k2+b2=0,化简得b2=12k2+127,原点O到直线EF的距离d=|b|1+k2,则d2=b21+k2=12k2+127k2+7=12
8、7,所以当k1k2=-1时,直线EF与以原点为圆心的定圆相切,此定圆的标准方程为x2+y2=127.5.解:(1)联立x2=-y与y=kx-3,得x2+kx-3=0,1=k2+120,l与抛物线x2=-y恒有两个交点.联立x2=4y与y=kx-3,得x2-4kx+12=0,m3,2=16k2-480,又k0,k3,k的最小值为3.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则A,B两点在抛物线x2=4y上,C,D两点在抛物线x2=-y上,由(1)知x1+x2=4k,x1x2=12,x3+x4=-k,x3x4=-3,且2=16k2-480,又k0,k3.|AB
9、|=1+k2(4k)2-48,|CD|=1+k2k2+12,|AB|CD|=(4k)2-48k2+12=4k2-3k2+12=41-15k2+12,又k3,015k2+121),易知点C(-1,0)在椭圆C2内部,故直线l与椭圆C2必有两个不同的交点.由题意得直线l的斜率不存在时不符合题意,直线l的斜率为0时也不符合题意,从而得直线l的斜率存在且不为0,故设直线l的方程为y=k(x+1)(k0),由y=k(x+1),4y2+9x2=362,消去x,整理得9k2+4y2-18ky+9-362=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=18k9+4k2,AC=2CB,且点C(-1,0),(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),y1=-2y2,y1+y2=-y2,故y2=-18k9+4k2,SOAB=SAOC+SBOC=121|y1|+121|y2|=12|y1-y2|=32|y2|=3218|k|9+4|k|2=279|k|+4|k|27236=94,当且仅当|k|2=94,即k=32时等号成立.OAB面积的最大值为94,此时直线l的方程为y=32(x+1)或y=-32(x+1).
