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1、3 1 2 两条直线线平行与 垂直的判定 一二 一 两条直线平行与斜率之间的关系 1 如图 设对 于两条不重合的直线l1与l2 其倾斜角分别为 1与 2 斜率分别为 k1 k2 若l1 l2 1与 2之间有什么关系 k1与k2之间有什 么关系 提示 1与 2之间的关系为 1 2 对于k1与k2之间的关系 当 1 2 90 时 k1 k2 因为 1 2 90 所以tan 1 tan 2 即k1 k2 当 1 2 90 时 k1 k2不存在 一二 2 对于两条不重合的直线l1与l2 若k1 k2 是否一定有l1 l2 为什 么 提示 一定有l1 l2 因为k1 k2 tan 1 tan 2 1 2
2、 l1 l2 3 填表 两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线l1 l2 倾斜角分别为 1 2 斜率存在时斜率 分别为 k1 k2 则对应 关系如下 一二 4 做一做 已知直线l1经过 两点 1 2 1 4 直线l2经过 两点 2 1 x 6 且l1 l2 则x 解析 由题意知l1 x轴 又l1 l2 所以l2 x轴 故x 2 答案 2 5 做一做 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误 的画 1 若两条直线斜率相等 则这 两条直线平行 2 若l1 l2 则k1 k2 3 若两直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在 则两直线相交 4 若两直线斜率都不存在 则两
3、直线平行 答案 1 2 3 4 一二 二 两条直线垂直与斜率之间的关系 1 如图 设直线l1与l2的倾斜角分别为 1与 2 斜率分别为 k1 k2 且 1 2 若l1 l2 1与 2之间有什么关系 为什么 提示 2 90 1 因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之 和 一二 2 如果两直线的斜率存在且满足k1 k2 1 是否一定有l1 l2 为什 么 提示 一定有l1 l2 不妨设k2 0 即 2为钝角 因为k1 k2 1 则有tan 2tan 1 1 又0 1 180 0 20 试判断 四边形OPQR的形状 思路分析 利用直线方程的系数关系 或两直线间的斜率关系 判 断两直线的位置关系 探究
4、一探究二探究三思想方法 所以kOP kRQ kOR kPQ 从而OP RQ OR PQ 所以四边形OPQR为平行四边形 又kOP kOR 1 所以OP OR 故四边形OPQR为矩形 探究一探究二探究三思想方法 延伸探究1将本例中的四个点 改为 A 4 3 B 2 5 C 6 3 D 3 0 顺次连接A B C D四点 试判断四边形ABCD的形状 解由题意A B C D四点在平面直角坐标系内的位置如图 所以kAB kCD 由图可知AB与CD不重合 所以AB CD 由kAD kBC 所以AD与BC不平行 又因为kAB kAD 3 1 所以AB AD 故四边形ABCD为直角梯形 探究一探究二探究三思
5、想方法 延伸探究2将本例改为 已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺 序依次为O 0 0 P 1 t Q 1 2t 2 t 试求顶点R的坐标 解因为OPQR为矩形 所以OQ的中点也是PR的中点 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟 1 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 探究一探究二探究三思想方法 2 判定几何图形形状的注意点 1 在顶点确定的前提下 判定几何图形的形状时 要先画图 猜测 其形状 以明确证明的目标 2 证明两直线平行时 仅有k1 k2是不够的 还要注意排除两直线 重合的情况 3 判断四边形形状 要依据四边形的特点 并且不会产生其他的 情况 探究一探究二探究三思想方法
6、分类讨论思想在平行与垂直中的应用 典例已知点A 0 3 B 1 0 C 3 0 且四边形ABCD为直角梯形 求 点D的坐标 思路分析 分析题意可知 AB BC都不可作为直角梯形的直角边 所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这 两种情况 设所求点D的坐标为 x y 若CD是直角梯形的直角边 则 BC CD AD CD 根据已知可得kBC 0 CD的斜率不存在 从而有 x 3 接下来再根据kAD kBC即可得到关于x y的方程 结合x的值即 可求出y 那么点D的坐标便不难确定了 同理再分析AD是直角梯形 的直角边的情况即可 探究一探究二探究三思想方法 解设所求点D的坐标为 x
7、y 如图所示 由于kAB 3 kBC 0 则kAB kBC 0 1 即AB与BC不垂直 故AB BC都不可作为直角梯 形的直角边 若CD是直角梯形的直角边 则BC CD AD CD kBC 0 CD的斜率不存在 从而有x 3 又 kAD kBC 0 即y 3 此时AB与CD不平行 故所求点D的坐标为 3 3 若AD是直角梯形的直角边 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟先由图形判断四边形各边的关系 再由斜率之间的关系完 成求解 特别地 注意讨论所求问题的不同情况 探究一探究二探究三思想方法 变式训练 顺次连接A 4 3 B 2 5 C 6 3 D 3 0 四点 判断四边 形ABCD形状 所以直线AD垂直于直线AB与CD 而且直线BC不平行于任何一条 直线 所以四边形ABCD是直角梯形 123 1 若直线l1的斜率为a l1 l2 则直线l2的斜率为 解析 若a 0 则l2的斜率为 若a 0 则l2的斜率不存在 答案 D 123 2 已知直线l1的倾斜角为45 直线l1 l2 且l2过点A 2 1 和B 3 a 则a的值为 答案 4 123 3 已知 ABC的三个顶点分别是A 2 2 B 0 1 C 4 3 点D m 1 在边 BC的高所在的直线上 则实 数m 解析 设直线AD BC的斜率分别为kAD kBC 由题意 得AD BC 则有kAD kBC 1
