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1、3.2数学归纳法的应用课后篇巩固探究A组1.若x-1,x0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x)321+32xC.(1+x)-21-2xD.(1+x)13n2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同学回答“用数学归纳法证明n2+nn+1(nN+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k1,kN+)时有k(k+1)k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2k2+4k+4=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n
2、N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明(k+1)2+(k+1)(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设k(k+1)n2时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1+12+13+12k+1-1+12+13+12k=12k+1+12k+2+12k+1.答案:12k+1+12k+2+12k+15.已知x0,观察下列几个不等式:x+1x2;x+4x23;x+27x34;x+256x45归纳猜想一般
3、的不等式为.答案:x+nnxnn+1(n为正整数)6.用数学归纳法证明an+bn2a+b2n(a,b是非负实数,nN+)时,假设当n=k时不等式ak+bk2a+b2k(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘a+b2即可.答案:a+b27.用数学归纳法证明不等式1+12+13+1n2n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,不等式成立,即1+12+13+1k2k.则当n=k+1时,1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2kk+1+
4、1k+1(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意nN+都成立.8.导学号35664046已知数列an满足:a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立.(1)解将条件变为1-nan=131-n-1an-1,因此数列1-nan为一个等比数列,其首项为1-1a1=13,公比为13,从而1-nan=13n,因此得an=n3n3n-1(n1,nN+).(2)证明由得a1a2an=n!1-131-1321-
5、13n.为证明a1a2an12.显然,左端每个因式皆为正数,先证明对nN+,有1-131-1321-13n1-13+132+13n.下面用数学归纳法证明式:()当n=1时,显然式成立,()假设当n=k(kN+,k1)时,式成立,即1-131-1321-13k1-13+132+13k,则当n=k+1时,1-131-1321-13k1-13k+11-13+132+13k1-13k+1=1-13+132+13k-13k+1+13k+113+132+13k1-13+132+13k+13k+1.即当n=k+1时,式也成立.故对一切nN+,式都成立.利用,得1-131-1321-13n1-13+132+1
6、3n=1-131-13n1-13=1-121-13n=12+1213n12.故原不等式成立.B组1.用数学归纳法证明Cn1+Cn2+Cnnnn-12(nn0,且nN+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析:当n=1时,左边=C11=1,右边=10=1,11不成立;当n=2时,左边=C21+C22=2+1=3,右边=212=2,32,成立;当n=3时,左边=C31+C32+C33=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B2.已知a1=1,an+1an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于()A.
7、nB.n2C.n3D.n+3-n答案:B3.用数学归纳法证明1+12+13+12n-11),第一步要证的不等式是.解析:当n=2时,左边=1+12+122-1=1+12+13,右边=2,故填1+12+132.答案:1+12+131+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知当n1时,令x=ba,则1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b.当n=1时,M=N.故MN.答案:MN5.导学号35664047已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=an2+1an-1,且an0,nN+.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)
8、解当n=1时,由已知得a1=a12+1a1-1,即a12+2a1-2=0.a1=3-1或a1=-3-1(舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=a22+1a2-1,将a1=3-1代入并整理得a22+23a2-2=0.a2=5-3或a2=-5-3(舍去).同理可得a3=7-5.由a1,a2,a3,猜想an=2n+1-2n-1(nN+).(2)证明由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.假设当n=k(k3,kN+)时,通项公式成立,即ak=2k+1-2k-1.则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-ak2-1ak,将ak=2k+1-2k-1代入上式并整理
9、得ak+12+22k+1ak+1-2=0,解得ak+1=2k+3-2k+1或ak+1=-2k+3-2k+1(舍去).即当n=k+1时,通项公式也成立.由可知,对所有nN+,an=2n+1-2n-1都成立.6.导学号35664048设数列an满足a1=0,an+1=can3+1-c,nN+,其中c为实数.(1)证明:an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1;(2)设0c13,证明:an1-(3c)n-1,nN+.证明(1)必要性:a1=0,a2=1-c.a20,1,01-c1,即c0,1.充分性:设c0,1,对nN+用数学归纳法证明an0,1.当n=1时,a1=00,1.假设ak0,1
10、(kN+,k1),则ak+1=cak3+1-cc+1-c=1,且ak+1=cak3+1-c1-c0,故ak+10,1.由数学归纳法,知an0,1对所有的nN+成立.综上可得,an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1.(2)设0c13,当n=1时,a1=0,结论成立.当n2时,an=can-13+1-c,1-an=c(1-an-13)=c(1-an-1)(1+an-1+an-12).0c13,由(1)知an-10,1,1+an-1+an-123,且1-an-10.1-an3c(1-an-1).1-an3c(1-an-1)(3c)2(1-an-2)(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.an1-(3c)n-1(nN+).
