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1、. . . . .高考数学压轴题突破训练：数列1. 设函数 （1）若在定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）证明：； 1.解：（1）在单调，或在恒成立， 即或在恒成立， 或1 （2） 设=，则，当时，=0 当时，0 递增，当时，0 递减， =0 即（0） 由， 又 左边= 右边 原不等式成立2. 已知，数列满足，。（）（1） 判断并证明函数的单调性；(2)数列满足，为的前项和。证明： 2.解：（1）0，仅当时，故在R上单调递增。（2）为奇函数，,由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=3. 已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式; （2）令，当为
2、何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围。3.解：（1）令，即 由 ，即数列是以为首项、为公差的等差数列， （2），即 ，又时，各项中数值最大为，对一切正整数，总有恒成立，因此4. 已知数列中，且是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式；（2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）；求证：当时，不等式对成立。4.解：（1），时，综上 （2）由得 ，3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较与的大小.【解析】（） 则 ，（） 因为
3、，所以当时， 即；所以当时，；当时， .5. 已知，数列满足， （）求证：数列是等比数列； （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围5.解：（I）， 即又，可知对任何，所以， 是以为首项，公比为的等比数列（II）由（I）可知= （） 当n=7时，； 当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为 （III）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， 当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意 当t0时，由，可知（） 而当m是偶数时，因此t0时，由（）, （） 设 （） =,的最大值为所以实数的取值范围是6. 已知函数（）若函数f(x)在其
4、定义域内为单调函数，求a的取值范围；（）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an 2n + 2；（）在（）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由6.解：(1)，要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当恒成立，所以的取值范围为（2）根据题意得：，于是，用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有(3) 由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7（2012四川）已知a为正实数，n为
5、自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求对所有n都有成立的a的最小值；（）当0a1时，比较与的大小，并说明理由考点圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用。766398 专综合题。解答：解：（）抛物线与x轴正半轴相交于点A，A（）对求导得y=2x抛物线在点A处的切线方程为，f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，f（n）=an；（）由（）知f（n）=an，则成立的充要条件是an2n3+1即知，an2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a当a=，n3时，an4n=（
6、1+3）n1+=1+2n3+2n3+1当n=0，1，2时，a=时，对所有n都有成立a的最小值为；（）由（）知f（k）=ak，下面证明：首先证明：当0x1时，设函数g（x）=x（x2x）+1，0x1，则g（x）=x（x）当0x时，g（x）0；当时，g（x）0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0当0x1时，g（x）0，由0a1知0ak1，因此，从而=6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合
7、分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（）证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意（2010江西理数）22. （本小题满分14分高考资源*网）证明以下命题：（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得成等差数列。（2） 存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题
8、的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若m，相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)设是坐标平面上的
9、一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这
10、个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（）证明成等比数列；（）求数列的通项公式；（）记，证明.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（I）证明：由题设可知，。从而，所以，成等比数列。（II）解：由题设可得所以 .由，得 ，从而.
11、所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则 .所以，从而（2） 当n为奇数时，设。所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。（）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)
12、由=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。（）证明：，可得，从而=1.由（）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综合（1）（2）可知，对任意,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同证法一。宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！献给所有努力的人.学习参考
