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1、 （第一课时） 教学目标： l 1、掌握等差数列定义和通项公式; l 2、提高学生的归纳、猜想能力; l 3、联系生活中的数学。 教学重点与难点教学重点与难点 ： l难点对等差数列特点的理解、把握和应 用 l重点掌握对数列概念的理解、数列通项 公式的推导及应用 一、由具体例子归纳等差数列的定义 看下面的数列： 4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的 各种 （表示鞋长、单位是cm） 21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25 ; 一张梯子 从高到低每级的宽度依次为（单 位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每级之间
2、的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40. 从第2项起，每一项与前一项差都等 于1 这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 从第2项起，每一项与前一项差都等于3 从第2项起，每一项与前一项差都等于10 从第2项起，每一项与前一项差都等于0 问：这5个数列有什么共同特点？ 从第2项起，每一项与前一项差都等于 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 数学语言： anan1=d （d是常数，n2，nN*） 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的差等于同一常数，那么 这个数列就叫做等差数列, 通常用A P表示。 这个常数
3、叫等差数列的公差，用字母d表示。 二、由定义归纳通项公式 a2 a1=d， a3 a2=d， a4 a3=d， . . . . . . 则 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d 由此得到 a n=a1+(n1)d an1an2=d, an an1=d. 这（n1）个式子迭加 an a1= (n1)d 当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数 列an的通项公式。 三、巩固通项公式 a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN N * *) ) （一）求通项an 若已知一个等差数列的首
4、项a1和公差d，即可求 出an 例如：a1=1, d=2, 则 an=1+(n1)2=2n1 已知等差数列8，5，2，求 an及a20 解：a1=8, d=58=3 a20=49 an=8+(n1)(3)=3n+11 练习：已知等差数列3，7，11， 则 an=_ a4=_ a10=_ a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN N * *) ) 4n-1 15 39 (二)求首项a1 例如 ：已知a20=49, d=3 则 ， 由a20=a1+(201)(3) 得a1=8 练习：a4=15 d=3 则a1=_6 a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d
5、(n1)d (nN N * *) ) (三)求项数n 例如： 已知等差数列8，5，2问49是第 几项? 解 ：a1=8, d=3 则 an=8+(n1)(3) 49=8+(n1)(3) 得 n=20. 是第20项. a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN N * *) ) 问400是不是等差数列5，9，13, 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得 401=5+(n1)(4)成立 所以400不是这个数列的项 a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN
6、 N * *) ) 解之得 n= 4 399 解2：这些三位数为100，101，102，999可组成 首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。 由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900 练习：10 100是不是等差数列2，9，16，的项 ？如果 是，是第几项？ 如果不是，说明 理由. 20 在正整数集合中，有多少个三位数？ 30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍 数？ a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN N * *) ) 解解3 3：这些数组成首项：这些数组成首项a a 1 1 =105,=
7、105,公差公差 d=7d=7的等差数列。的等差数列。 a a n n =105+(n=105+(n1)1)7 7 又又a a n n 999999 即即 105+(n105+(n1)1)7999 7999 解得解得 n128n128 n nN N * * n n最大为最大为128128， 故共有故共有128128个。个。 7 5 解1: a a1 1 =2, a a2 2 =9, a a3 3 =16, d=7,an =2+(n-1)=100 =2+(n-1)=100 n=15.n=15.是第是第1515项项. . (四)求公差d 例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽 110cm,中
8、 间还有 10级，各级的宽度成等差数列 。求公差d及中间各级的宽度。 分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7 从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。 总结：在 an=a1+(n1)d nN* 中，有an,a1,n,d 四个量 ,已知其中任意3个量即可求出第四个量。 那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢 ？ a an n =a=a 1 1 +(n+(n1)d (n1)d (nN N * *) ) （五）小综合
9、 在等差数列an中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及 an an=2+(n1)3=3n5 知识延伸： 由定义，可知： a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d 猜想：任意两项an和am之间的 关系： an=am+(nm)d 证明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d 本题也可以这样处理： 由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2 解： 由an=a1+(n1)d 得 a5=a1+4d=10 a1=2
10、a12=a1+11d=31 d=3 练习：等差数列an中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则 a12=_ 课后思考： 能否对上面的结论进行推广： 若ap=q 且aq=p (pq) 则ap+q= 0 ? 0 四、能力培养： 两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项 ， 求：这两个数列相同项的个数 解法一：已知两个等差数列 an: 5，8，11，公差为3 bn: 3，7，11，公差为4 通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4=4n1 假设an的第n项与bn的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k1 n=k1 nN* k必是3的倍数 k=3,6,
11、 9, 12,， 组成新的等差数列cn 而相应的 n=3,7,11,15,， 组成新的等差数列dn 即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12， 又因为这两个数列最多只有100项，所以 cn=3+(n1)3100 n100/3=33 n25 dn=3+(n1)4100 n101/4=25 又 nN* 这两个数列共有25项相同。 3 1 4 1 4 1 解法二：已知两个等差数列an：5，8，11， 和bn：3, 7, 11, 则 通项公式分别是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4 观察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 3，7
12、，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51， 因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11, 公差 d=12的等差数列cn 又 a100=5+(1001)3=302 b100=3+(100 1)4=399 因为，相同的项不大于a100和b100中的较小者， 所以， cn=11+(n1)12302 得 n25 又 nN* 故这两个数列中相同的项共有25个。 4 1 五、要点扫描： 本节课主要学习 等差数列的定义：“从第2 项起，后 项 与前一项差为常数” 通项公式： an=a1+(n1)d （ nN*） 六、作业： P P 118118 1, 2, 4, 5, 1, 2, 4, 5, 另：已知两个等差数列另：已知两个等差数列5 5，7 7，9 9，和和 3, 63, 6， 9 9，共有共有100100项。项。 求这两个数列相同项的个数。求这两个数列相同项的个数。
