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1、第五章第五章 平面体平面体 曲面体：表面为曲面组成，或平面与曲面组成 平面体：立体表面是由若干面所组成 组合体：由基本题组合而成 基本体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球 立体的分类 常见的基本几何体常见的基本几何体 平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体 在投影图上表示一个立体，就是把构成立 体的点、线、面表达出来，然后根据可见性原 理判断那些线条是可见的或是不可见的，分别 用实线和虚线来表达，从而得到立体的投影图 。 本章内容是在研究点、线、面投影的基础 上进一步论述立体的投影作图问题。 立体的投影立体的投影 平面立体的表面是由点、直线、平面等几何元素构成，因 此平面体的投影就是绘制平面体表面
2、各点、直线、平面的投影 ，并判断可见性。 一、棱柱一、棱柱 1、 棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱面 组成。棱面与棱面的交线叫棱 线，棱线相互平行。 a d e b c a b dc e e c d a b A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影 5.1 5.1 平面基本体平面基本体 2、 棱柱的投影特点 a d e b c a b dc e e c d a b A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影 如图, 正六棱柱，其顶面、底面均为水平面， 它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影重影为 一直线。 a d e b c a b dc e e c d a b A D C E B
3、X Z Y 正六棱柱的投影 棱柱有六各侧棱面，前后棱面为正平面，它们 的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为 一条直线。 2、 棱柱的投影特点 a d e b c a b dc e e c d a b A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影 棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面铅垂面，其水平投影，其水平投影 均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。 2、 棱柱的投影特点 a d e bc ab dc e e c d a b A D C E B X Z Y 正六棱柱的投影图 a (b) d(c)e a b d c e
4、a” b” d” c” X Z YH YW 3、 作六棱柱的三视图 作投影图时，先画出正六棱柱底面的投影-正六边形， 再根据投影规律画出另外两个投影。 棱柱的投影特点：两 个投影为矩形或并列的 矩形，一个投影为多边 形。 五棱柱的投影图 4、 五棱柱的三视图 1、 棱锥的组成 由一个底面和 几个侧棱面组成。 棱线交于有限远的 一点锥顶。 二、棱锥二、棱锥 S A B C W V a s b s a b c b a c s X Y Z 正三棱锥的投影 如图正三棱锥，锥顶 为S，其底面为ABC， 呈水平位置，水平投影 abc反映实形。 棱面SAB、 SBC是 一般位置平面，它们的 各个投影均为类似
5、形。 棱面SAC为侧垂面， 其侧面投影s”a”c”重 影为一直线。 2、 棱锥的投影特点 底边AB、BC 为水平线，AC为 侧垂线，棱线SB为 侧平线，SA、SC为 一般位置直线，它 们的投影可根据不 同位置直线的投影 特性进行分析。 S A B C W V a s b s a b c b a c s X Y Z 正三棱锥的投影 2、 棱锥的投影特点 作图时，先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个 投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。 s s ab c a c b a”(b”) c” s” 正三棱锥的三面投影图 X YH Z Yw O S A B C W V a s b s
6、a b c b a c s X Y Z 2、 作三棱锥的三视图 棱锥的投影特点：两 个投影为三角形或并列 的三角形,一个投影为 划分成若干三角形的多 边形。 三、棱台三、棱台 棱台的投影特点： 两个投影为梯形或并 列的梯形,一个投影 为划分成若干梯形且 内外有一对相似的多 边形。 5.2 5.2 平面体表面上的点和线平面体表面上的点和线 平面体表面上定点和线的方法同平面内定点 定线的方法。 但要先判断点和线属于哪一个表面。 平面体表面上定点和线的可见性，应根据点 和线所在表面的可见性进行判断。 a a (a) 1、棱柱表面上取点 (b) b b C C C 作图步骤如下： 连接sm并延 长，与
7、ac交于 2， 2 m 2 在投影ac上求出 点的水平投影2。 连接s2，即求出 直线S的水平投影。 求出M点的水平投 影m，判可见性。 求m” 判可见性 。 m” a s b c 正三棱锥的三面投影图 s a c b a”(b”) c” s” m X Y H Z YW 2、棱锥表面上取点 方法1 作图步骤如下： 1 1 m 过m作m1 ac，交sa于 1。 求出点的水平投 影1。 过1作1m ac，再 根据点在直线上的几 何条件，求出m 。 再根据知二求三的 方法，求出m”。（具 体步骤略) s c b 正三棱锥的三面投影图 s ab c a a”(b”) c” s” m 方法2 2、棱锥表
8、面上取点 3、棱柱表面取线 、求棱线各点 的三面投影 、判别各点的 可见性 、连线 步骤： s s s a b c a b c a b 4、棱锥表面取线 步骤：、利用辅助线法 求各点的三面投影 、判别各点的可 见性 、连线 c A B C 5、棱台表面取线 步骤：、利用辅助线法 求各点的三面投影 、判别各点的可 见性 、连线 作业 4-10、11、12、13、14、15、16 5-1、3、4 5-35-3 平面立体的截切平面立体的截切 一、截交线的概念一、截交线的概念 截交线是一个由直线组成的封闭的 平面多边形，其形状取决于平面体 的形状及截平面相对平面体的截切 位置。 截交线的顶点数=平面体
9、参与相交 的边数（棱线或底边）；截交线的 边数=平面体参与相交的表面数。 平面体被平面截切产生截交线 截交线既属于截平面，又属于立 体的表面。 截交线与截面 截平面 截交线 截面 二、平面体截交线的作图二、平面体截交线的作图 求截交线的两种方法： 求各棱线（或底边）与截平面的交点。 求各棱面（或底面）与截平面的交线。 关键是正确地画出截交线的投影 。 求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 确定截交线 的投影特性 空间及投影分析 画出截交线的投影 求出截平面与棱面（或底面）的交线， 求出截平面与棱线（或底边）的交点，并连接成多边形。 截交线与截面 截平面 截交线 截面
10、 确定截交 线的形状 例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平 投影和侧面投影。 平面与三棱锥相交 s a b cc”a” b” s Pv s” (1) 分析截交线的形状 。 1 2 3 (2) 分析截交线的投影 特点。 1 1” 2” 2 3 (3) 求出截交线各点的 三面投影。 (4) 连线并判别可见性 。 3” 具体步骤如下： (5) 补全棱线的投影。 解题步骤 1.分析 2.求六条棱线与截切平面 的交点 3.整理图形，加深图线 例2、求六棱柱截切后的投影 1.分析 解题步骤 2.求棱线与截切平面的交点 3.整理图形，加深图线 例4、补全四棱锥截切后的水平和侧面投影 例5、
11、补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影 解题步骤 1.分析 2.求棱线与截切平面的交点 3.整理图形，加深图线 y y y y 两截平面的交线 例6：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 1 2 1(2) 2 1 注意： 要逐个截平面分析和 绘制截交线。当平面体 只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求 出截交线后再取局部。 1 2(3) 4(5) 6(7) 6”7” 1” 3” 2” 5” 4” 6 7 例7 补全俯视图和左视图的投影 例 8: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 P 截交线的形状？ 1 54 32 8 76 截交线的投影 特性？ 2367 18 45 求截交线 1 5 4 7
12、6 3 2 8 分析棱线的 投影 检查截交 线的投影 5-4 5-4 直线与平面体相交直线与平面体相交 贯穿点：直线与立体表面的交点。其交 点既在直线上又在立体的表面上。 求贯穿点的方法： 1、立体表面有积聚性时，可利用 积聚性直接求出。 2、立体表面没积聚性时，可利用 辅助平面法求出。 b c a f f c a d d e e b 例1：求直线与四棱柱的贯穿点 m n m n立体内的部分 没有线 as d a c d c s e b b e 例2：求直线与三棱锥的贯穿点 m n m （n） Pv 作业 5-6、7、11、12、14、15 5-5 5-5 两平面体相贯两平面体相贯 1相贯线的
13、性质及求相贯线的方法 1相贯线的性质 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是 两立体表面的共有点; 2相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段 都是一个形体的一个表面与另一个形体的一个表面的交线，折线的转折点 就是一个形体的侧棱与另一形体的表面的交点。 3求相贯线的方法 一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后 把位于一个形体同一表面又位于另一形体同一表面上的两点，依次连接起 来。另一种是求一形体各表面与另一形体各表面的交线。 4判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交 线，是可见的。 全贯 互贯 全贯：一个立体完全穿过另一个立体 互贯：两个立体各自只有一部
14、分参与相贯 1、四棱柱与三棱锥为 全贯，2条相贯线 2、前面的相贯线由6段 直线组成，后面的相贯 线由4段直线组成。 s abc a b c s d fg e s b a(c) Pv Qv 1 5 2 6 7 3 4 8 9 10 (3)1 (7)5 (4)2 (8)610 9 例1：求四棱柱与三棱锥的相贯线 1 3 2 4 6 5 edf d s f s b c a c b a e 例2：求三棱柱与三棱锥的相贯线 1 2 3 4 56 1、三棱柱与三棱锥为 互贯,一条相贯线。 2、三棱锥SA、SC棱 线与三棱柱相交有4个 交点。 3、三棱柱F棱线与三 棱锥相交有2个交点。 作业 5-17、20、21、22、25、26
