机控2-数学模型综述

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1、1 教学内容教学内容 6、系统的性能指标与校正 1、绪 论 3、系统的时间响应分析 2、系统的数学模型 4、系统的频率特性分析 5、系统的稳定性分析 2 研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作 原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在 运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那 么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定 量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态 性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。 建立系统的数学模型Why？ 从定性的认识上升到定量的精确认识 3 数学模型What？ 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系 统输入、

2、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于 同一系统，可以建立多种形式的数学模型。 微分方程 传递函数 时间响应函数 频率响应函数 数学模 型的 描 述 微分方程 传递函数 频率响应 时域 复数域 频域 差分方程 脉冲传递函数 4 教学内容教学内容 第一讲 系统的微分方程 5 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 一、控制系统建模问题 1、控制系统数学建模 数学模型：通过定量描述系统的动态性能，以揭示 系统的结构、参数与动态性能之间的关系。 数学模型的表现形式： A时域：微分方程( (连续系统连续系统) ) ；

3、差分方程 ( (离散系统离散系统) ) A频域：传递函数；信号流图 A复频域（S平面）：Nyquist图；Bode图 1. 1.分析法：分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系统或元件所遵循的有关定律来建模 2. 2.实验法：实验法：根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模 数学建模的一般方法：数学建模的一般方法： 6 表现形式：微分方程 2、数学模型的表现形式及转化 转化形式： 传递函数： 状态空间： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 7 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 线性系统 系统的数学模型能用线性微分

4、方程描述 线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量 同时作用于系统时，可以逐个输出，求出对应的输出，然后 把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。 微分方程的系数为常数 微分方程的某一（些)系数随时间的变化而变化线性时变系统： 线性定常系统： 3、系统分类 8为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化 非线性系统：不可用叠加原理。 用非线性方程描述的系统称，它不能使用叠加原理。 非线性系统 在实际生活中，物理系统往往都存在一些非线性因素，但 在一定的范围内，可以经过线性化处理，用线性模型来研 究。对于有些非线性控制系统，往往产生一些跳跃谐振， 极限环现象，不能对其进行线性化处理，因此，

5、就不能用 线性理论来研究，对于非线性控制系统特性的一些研究方 法，本书中第7章作了介绍。 9 4、系统建模方法 分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出 数学表达式。 例如：欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。 实验法：通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的 数学表达式。 简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精 确要求，来确定出合理的物理模型。 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、 全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为 该元件或系统的物理模型。 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 10 二、系统的微分方程 微分方

6、程：在时域中描述系统（或元件）动态特 性的数学模型。 利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此 是最基本的数学模型。 实例分析1滤波网络微分方程 试求出：输出电压u2和 输入电压u1为变量的滤 波网络的微分方程 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 11 解：设回路电流为i1、i2。根据克希霍夫电压定律有： 消去中间变量： A微分方程的列写必须考虑系统的负载效应 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 12 不考虑负载效应，RC网络方程独立列写如下： 消去中间变量： 所得方程不能正确反映物理问题，因而方程有误。 系系统统统统的数学模型的数

7、学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 13 实例分析2电动机控制方程 试求出：输入电压ua和 输出转角 在干扰ML作 用下的微分方程 A电磁力矩M与电枢电流成正比： A输入电压与电枢电流之间的关系： 其中ed为与电机速度成正比的反向感应电压： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 14 A电动机转子的运动方程： 消去中间变量 ia ： 令： 则上式可化为： 电枢控制式直流电动机 微分方程 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 15 列写微分方程的一般方法： A建立物理模型（包括力学模型和电学模型等 ） ，确定系统或元件的输入量和输出量；

8、 A按照信号的传递顺序，建立各个元件或环节 的微分方程； A消去中间变量，得到描述系统输入量和输出 量之间关系的微分方程； A形式标准化。 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 16 三、微分方程的增量化表示 取电机任意平衡态，则微分方程变量各阶导数为零： 此即为输入、输出之间的静态数学模型，因此有： ua0,ML0,0为所取平衡 状态下的具体数值。 若某时刻输入量发生变化 ， 输出量也会变化， 则，输入量和输出量可表示为： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 17 代入微分方程，则有： 平衡状态下：则有： 电动机任意平衡状态 下的增量

9、方程 若电动机在工作过程中负载力矩为常数，且略去增量符 号，则有 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 18 非线性微分方程的线性化 控制系统中非线性 问题普遍存在，理论和 分析方法又不成熟，怎 么办？ 在一定条件下，将 非线性问题通过线性问 题求解方法来处理，可 有效解决！ 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 19 实例分析3液压伺服机构 负载m的动力学方程： 流量连续性方程： 系统分析： 流量q、压力p以及阀芯位移x是非线性关系： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 20 小偏差线性化分析： 1)在工作

10、点（x0,y0)邻域进行小偏差线性化： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 21 2)假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系： 3)取坐标原点为工作点，略去增量符号： 代入动力学方程： 22 小偏差线性化要点： A明确系统工作点； A变量偏离工作点位置应足够小； A本质非线性函数不能线性化； A线性化后的方程是以增量为基础的增量方程。 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 23 实例分析4倒立摆控制模型 试求出：以(t)为输出 、u(t) 为输入的系统动 力学方程。 以整个系统为研究对象： 水平方向的动力学方程为： 以摆为研究对象

11、： 垂直于摆杆方向的动力学方程为： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 24 把方程展开得： 方程组为非线性。当(t)较小时，取： 略去 的高次项，得到如下线性方程组： 联立求解得： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的微分方程的微分方程 25 四、本讲小结 A了解系统数学模型的表现形式； A了解微分方程的列写方法； A了解微分方程的增量化表示方法； 系系统统统统的数学模型的数学模型小小结结结结1 1 A了解非线性微分方程做小偏差线性化的处理方法。 练习题 ： 教材： 2.12.5 26 第二讲 拉氏变换 27 Laplace变换（简称拉氏变换） 在求解

12、线性微分方程时，用常规方法求解，其计算过程复 杂。 英国的电工工程师Laplace提出了一种函数变换法，可以 使计算过程大大简化。下面我们介绍Laplace变换的定义及有关 定理。 1、Laplace变换的定义 若一个时间函数 f（t），称为原函数，经过下式计算转换为 象函数F (s)： 记为 称F(s)为f(t)的Laplace变换（简称拉氏变换）。其中算子s=+ j 为复数。 28 若已知F(s)，求原函数f(t)，则称为Laplace反（逆）变换（简 称拉氏反（逆）变换），即 记为 显然，若F(s)是f(t)的拉氏变换，则f(t)就是F(s)的拉氏反变 换。 从数学角度考虑，一个时域函数

13、f(t)能够进行拉氏变换的 条件为： (1)当t 0时，f (t)= 0； 29 (2) f(t)只有有限个间断点，且能找到适当的s，使 成立。 在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条件，故均 可进行拉氏变换。 2、几个常用函数的拉氏变换 （1）阶跃函数 则 故 30 （2）指数函数 故 （3）正弦函数 故 （4）余弦函数 故 31 同理可得： （5）t的幂函数 32 (6) 单位脉冲函数(t) 由洛必达法则： 所以： 0 t f(t) 单位脉冲函数 1 33 （1）迭加定理 3、拉氏变换的主要运算定理 若 则 34 （2）比例定理 若 则 （3）微分定理 若 则 其中 相当于初始条件。于

14、是 若为零初始条件，即 35 则 （4）积分定理 若 则 其中在t =0处的值。同理有 若则 36 （5）位移定理 若 则 （6）延迟定理 若则 （7）初值定理 （8）终值定理 37 4、求拉氏反变换的部分分式展开法 若且 若 的拉氏反变换容易求出,则 设 式中和分别是的极点和零点。 下面讨论三种情况。 38 （1）极点各不相同，F(s)可化为如下形式: 则 例1、已知求。 解：因为 所以 39 （2）F(s)具有共轭复数极点p1和p2，F(s)可化为如下形式: （3） F(s)具有r 重极点p1，F(s)可化为如下形式: 可用待定系数法求出c1，c2，cn等，然后求出各分式 的拉氏反变换，取

15、其代数和即可。 于是有: 40 41 教学内容教学内容 第三讲 系统的传递函数 42 一、系统的传递函数 传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出 量的Laplace变换与输入量的Laplace变换之比。 主要目标： A微分方程与复数域内代数方程的转化； A表征系统的动态特性； A研究系统的结构和参数变化对系统性能的影响； 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的的传递传递传递传递 函数函数 43 线性定常系统微分方程的一般形式 设输入xi ( t )，输出为xo ( t )，则一般形式表示如下： 取如下零初始条件： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的的传递传递传递传递 函数函数 44 对微分形式进行Laplace变换，则有： 根据传递函数定义，则有G ( s )： 系系统统统统的数学模型的数学模型系系统统统统的的传递传递传递传递 函数函数 传递函数特点：传递函数特点： 1. 1.传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量 s s 的复变函数，为的复变函数，为复域数学模型复域数学模型； 2. 2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递传递 函数的分子反映系统与外界的联系；函数的分子反映系统与外界的联系； 3. 3. 在零初始条件下，