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1、第五章 线性系统的频域分析法 5-1 引言 时域信号可表示为不同频率正弦信号的合成 控制系统频率特性反映正弦信号作用下系统响应性能 频率分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法 频率分析法特点： 1）系统分析和设计可用图解法进行； 2）频率特性物理意义明确，频域性能指标与时域性能指标有对应 关系； 3）频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制要求； 4）适用于线性定常系统，也适于某些非线性控制系统。 5-2 频率特性 一、频率特性的基本概念 1、正弦信号输入的响应 线性系统传函： 输入的正弦信号： 拉斯变换： 则有 设传递函数的极点为 由部分分式法可得： 其中： 为系统的暂态分量，对于稳定的线性系统
2、，其终值为0。因此系 统的稳态分量为 。可见系统的稳态分量仍为同频的 正弦信号，但输出响应的幅值比和相位均发生变化，变化的程度由 系统的传递函数和输入信号的频率确定。 决定输出响应的幅值变化，称为系统的幅频特性。 决定输出响应的相位变化，称为系统的相频特性。 称为系统的频率特性。 2、系统频率特性与系统传递函数的关系。 线性系统的频率特性与传递函间满足等式： 进而有： 即为系统输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之 比。 二、频率特性的几何表示方法 1、幅频特性曲线和对数幅频特性 表示系统输出、输入的幅值比 与信号频率间的关系曲线。 如：对于惯性环节，有 则有 ，得幅频特性： 特点：横坐标为角频率，
3、 单位为（rad/s)； 纵坐标为幅值； 幅频曲线为非线性曲线。 对数幅频特性：横坐标为角频率，单位为（rad/s)，采用对数分度。纵 坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位为（dB）。对数幅 频特性定义为： 单位为分贝。 角频率对数分度：按的对数值均匀分度，即用lg分度。 惯性环节：有 2、相频特性曲线和对数相频特性 横坐标表示角频率，均匀分度；纵坐标表示相角，单位为度（） ，均匀分度。表示系统响应的相角随输入信号角频率的变化关系。 对数相频曲线：横坐标为角频率，单位为（rad/s)，并采用对数分度 。纵坐标表示相角，单位为度（）,均匀分度。 12345678910 lg0 0.301
4、0.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541 3、幅相特性曲线 特点：把角频率看成参变量，将幅频和相频特性同时表示在复平面上。 即在复平面上表示的函数曲线。由于幅频特性是的偶函数，而相频 特性是的奇函数，则从0到 的特性曲线，与从0到 的特性曲 线相对于实轴对称。因此，只需画出从0到 的特性曲线。 如： 5-3 曲型环节和开环系统频率特性 一、比例环节 频率特性与角频率无关。 幅相曲线：实轴上一点(K,j0)。 幅频曲线： 相频曲线： 二、积分环节 幅频特性与角频率成反比，相频特性恒为-90。 幅相曲线：与虚轴的负半轴重合。 幅频曲线： 过对数坐标的（1，0）点，斜
5、 率为-20dB/dec （-20dB/十倍频） 相频曲线： ，相位滞后90。 三、微分环节 幅频特性与角频率成正比，相频特性恒为90。 幅相曲线：与虚轴的正半轴重合。 幅频曲线： 过对数坐标的（1，0）点，斜率为20dB/dec （ 20dB/十倍频）的直线。 相频曲线： ，相位超前90。 积分、微分环节幅频、幅相特性比较： 两曲线关于角频率轴对称。 四、惯性环节 有： 幅相曲线： 幅频曲线： 当 ， ，即当频率很低时，对 数幅频特性为0dB线。 当 ， ，即当频率很高时，对数幅频特性为直线，斜率 为 -20dB/dec的直线。直线与0dB线交于点 （即 ）。 实际绘图时用两直线近似表示惯性
6、环节的幅频特性，并称两直线交点 为惯性环节的交接频率。 近似幅频特性曲线误差： 式中 为准确值， 为近似值 。 则有： 线性系统的频域分析法 五、一阶微分环节（比例微分环节） 幅相曲线： 幅频曲线： 相频曲线： 惯性环节与一阶微分环节比较：它们的幅频特性曲线关于角频率轴对 称，相频曲线也关于角频率轴对称。 六、振荡环节 传函： 则有 （四象限反正切） 振荡环节的谐振分析： 令 (称为无因次频率），则有 从图可以看出，当比较小时，幅频特性出现谐振峰值，峰值对应的频 率称为谐振频率 ，而 称为无因次谐振频率。随减小而增 大，最终趋于1。 对幅频表达式求导并令其等于0，可得： （ ） 注意区分阻尼振
7、荡频率，无因次阻尼振荡频率 从而求得谐振峰值 幅相曲线： 对数幅频曲线： 有 因此振荡环节的幅频特性可近似为0dB线和斜率为-40dB/dec的直线， 两直线的交点为 。 相频曲线： 特点：当由0变化到时，相角由0变化到-180当时 ，相角为 -90；阻尼比越小，则相频曲线在自然角频率处的斜率越大。 七、二阶微分环节 传函为 则有 （四象限反正切） 幅相曲线： 幅频曲线： 相频曲线： 作为控制系统分析设计的工具必须满足如下条件： 1、能判定系统的稳定性； 2、能确定或估算系统的时域性能指标； 3、能从开环系统特性判定闭环系统的稳定性； 4、能从开环系统特性确定闭环系统的性能指标； 频率分析法特
8、点 八、开环幅相曲线绘制 1、频率特性展成实部、虚部形式 2、频率特性展成幅值、相角形式 3、利用开环零、极点分布图，采用图示法求频率特性的 幅值和相角 则有 绘制概略开环幅相曲线方法： （1）求得 ， ， ， ； （2）由 的变化范围确定幅相曲线所在象限； （3）如 ， 中有一项为无穷大，则确定其渐近线方向； （4）如有必要则补充转折频率处的幅值和相角； （5）求解幅相曲线与实轴、虚轴的交点； （6）如有必要则补充其它频率处的幅值、相角点； 例5-1 设系统开环传递函数为 ，绘制其概略幅相曲线。 解： 有 ， ； 幅相曲线在第一象限； 当 时， ； 从而可得幅相曲线： 零型系统幅相曲线绘制：
9、 设零型系统传函为： ，（ ） 则有 ， 例5-2 设零型系统开环传递函数为： （ ），绘制系统 开环幅相曲线。 解：有 ， ，幅相曲线位于第四、第三象限； 如果零型系统存在一阶微分环节， 则幅相曲线所在象限及形状会受到 零、极点的相互位置关系的影响。 例如，设开环系统传递函数为 则有 ， 讨论：1、如果 则有 幅相曲线在第四、三象限，如图所示； 2、如果 ，则在 附近的相角 主要由一阶微分环节确定，会出现相角大于0 情形，因此幅相曲线处于第一、四、三象限。 3、如果 ，则当 时， 相角主要由三个惯性环节确定，则幅相 曲线处于第四、三、二象限； I型以上系统幅相曲线绘制： 对I，II，III型
10、系统有： ，（ ） 则有 ， ，渐近线方向为 例5-3 某单位反馈系统，其开环传递函数为 ， 试画出概略幅相曲线。 解： ， ，幅相曲线 处于第三、二、一象限；渐近线方向为-90， 渐近线与实轴的交点坐标小于0，则可得幅相 曲线如图所示； 如果把 展开成实部、虚部形式， 求 时， 的实部即为渐近线与实轴的交点。 II型系统例：设开环传函为 ，画出概略幅相曲线。 解： ， ，幅相曲线 处于第二、一象限；渐近线方向为-180， 渐近线与虚轴的交点坐标大于0，则可得 幅相曲线如图所示； 如果系统包括一阶微分环节，则会改变幅相曲线的形状和所在象限； 例如：设 ，（ ）试画出概略幅相曲 线。 解： ，
11、，由于 ， 则在 附近的相角主要由积分环节 和一阶微分环节确定，幅相曲线处于 第三、二、一象限；渐近线方向为-180， 渐近线与虚轴的交点坐标小于0，则可得 幅相曲线如图所示； 九、开环对数幅频、相频曲线的绘制 步骤：把开环传递函数表示成典型环节相串联形式（即为连乘积形式 ），设系统由n个典型环节串联组成，典型环节用 表 示，则有 ，相应的频率特性 幅相特性表示： 系统开环对数频率特性等于串联的各典型环节对数频率特性之和 。 相频特性表示为： 系统开环相频特性等于串联的各典型环节相频特性之和。 绘制开环幅频曲线步骤： (1) 把开环传递函数表示为各典型环节的串联形式，并转化为标准型； (2)
12、确定各典型环节的转折频率，并标于坐标图上； (3) 计算比例环节的增益值（即开环传函增益） ； (4) 如有积分环节或微分环节，则最左端的幅频特性为上升或下降直线 ；由于积分或微分环节的幅频线经过（1，0dB）点，则左端幅频线 或其延长线必过（1,20lgK)点和（ ，0）点；如果是0型系统， 则最左端为高度为20lgK的水平直线。 (5) 根据其它典型环节的交接频率，从小到大确定后续幅频曲线，在交 接频率处，幅频曲线的斜率发生变化；最好采用分段函数形式。 绘制相频曲线： 在交接频率及其它重要频点处计算开环系统的相位，并标于坐标图中 ，光滑连接各点。 例5-4 系统开环传函为 ，式中K=7，=
13、0.087s，绘制系统开 环幅频、相频曲线。 解：传函为比例环节，1个积分环节，1个惯性环节串联，惯性环节的 交接频率为 ，20lgK=16.9(dB) 在=1处，曲线的分贝值为20lgK，最左端直线斜率为-20dB/dec，在 惯性环节的交接频率处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec；可得幅 频曲线。 采用分段函数方法： 011.5(rad/s), , 11.5(rad/s) m） 则 可表示为： 式中 ， 分别为 的零点和极 点。 特点：1、 的零点就是闭环系统的极点； 2、 的极点就是开环系统的极点； 3、 的零点和极点个数相同； 4、 和 只相差常数1； 幅角原理 在s平面上任选一点s，通过复变函数的映射关系，在平面上可以找到 相应的象。设
