信号与系统5

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1、南京邮电大学 主讲教师: 陈昌红 2015.8 SIGNALS AND SYSTEMS 信号与系统 第五章 离散信号与系统的时域分析 第五章 离散信号与系统的时域分析 离散信号与系统的分析方法概述 5.1 离散时间信号 5.2 离散系统的数学模型和模拟 5.3 离散时间系统的零输入响应 5.4 离散系统的零状态响应 本章要点 作业 离散信号与系统的必要性 假设一个连续时间信号f(t)被一个数字电脑处理。这个操 作成为数字信号处理DSP。因为计算机处理一个数字， 连续时间信号必须被转换成一个序列。 离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、制导、空 间测控， 以及电子对抗等有线和无线系统的优化设计

2、中 ，扮演着越来越重要的角色。 离散信号与系统的分析方法概述 离散时间系统 传输和处理离散时间信号的系统 数字计算机、数字通信系统、数字控制系统 精度高、抗干扰能力强、可集成化程度高 易处理速率很低的信号 与连续时间系统的联系与区别（学习方法） 数学模型：差（微）分方程 分析方法：时域、频域、Z (S)域分析法 系统响应：零输入响应、零状态响应 离散信号与系统的时域分析 信号和系统的整个分析过程都在离散时间域内进行 5.1 离散时间信号 5.1.1 离散时间信号的时域描述 模拟信号量化信号 离散信号数字信号 时间取值： 连续 连续不连续 不连续 幅度取值： 连续 不连续 连续不连续 一. 离散

3、时间信号的概念 返回 1. 离散信号只在离散的时刻上有定义； 2. 离散信号可以看作是（在满足奈奎斯特抽样率的条件 下）对连续信号进行理想抽样的结果，此时 4. 序列不一定是时间的函数。 3. 离散信号在数学上可以表示为数值的序列，为了方 便，序列 f (k) 与序列的第 k 个值两者在符号上不加区 别； 几点说明： 二.离散信号的表示方法 1. 解析式 2. 序列形式 3. 图形 三. 序列的分类 1. 双边序列 序列 f (k) 对所有的整数 k 都存在确定的非零值。 2. 单边序列 3. 有限序列 5.1.2 离散信号的一些基本运算 1. 序列相加：两个序列同序号的数值逐项对应相加。 2

4、. 序列相乘：两个序列同序号的数值逐项对应相乘。 例：已知序列 返回 3. 序列移位： 4.序列折迭 ： f (-k) 例：已知序列 返回 f (k) 右移m位成 f (k-m), 左移m位成 f (k+m) 5. 序列差分(对应于连续信号的微分) 一阶前向差分 二阶前向差分 一阶后向差分 二阶后向差分 返回 6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分) 返回 5.1.3 常用的离散信号 1. 单位函数 (1) 筛选特性 (2) 加权特性 应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系列延时 单位函数的加权和，即 返回 2. 单位阶跃序列 对比： 返回 3. 斜变序列 类似地，还

5、可以定义余弦序列 4. 正弦序列 A -A 0 1510 正弦序列不一定是周期序列 当 是正整数时，正弦序列为周期序列， 且周期为 N 。 当 是有理数时，正弦序列为周期序列， 且周期为 。 当 是无理数时，正弦序列为非周期序列。 5. 指数序列 其中，A 和 可以是实常数， 也可以是复数。 (1) 若 A 和 均为实数，设 则 为实指数序列； 2 -1 0 12 3 -10123 -1 012 3 -1 01 3 (2) 若 A=1， 为虚指数序列； 根据欧拉公式，上式可写成 可见，虚指序列的实部和虚部都是正弦序列。当满 足 为有理数时，虚指序列才是周期序列。 (3) 若 A 和 均为复数，

6、则 为一般形式 的复指数序列。 其实部和虚部均为变幅的正弦序列。 6. Z 序列 若取 z 为极坐标的形式: 则 与复指数序列相比，只是 A=1， 的情况。 也就是说，Z 序列和复指数序列只是表示形式不同，并 无本质上的差别。 与连续时间基本信号相对应的离散时间基本信号 也具有相似的地位和作用。 式中，z 为复数，通常称为复序列。 返回 5.2 离散系统的数学模型和模拟 5.2.1 离散系统的数学模型差分方程 线性时(移)不变离散系统的数学模型为常系数线性差分方程： 各序列的序号自 k 以递增方式给出，称前向 (或左移序)差 分方程。 或写作 返回 返回 另一种形式： 各序列的序号自 k 以递

7、减方式给出，称后向(或右移序) 差 分方程。 或写作 说明： 3. 要求解 n 阶差分方程，需要有 n 个独立的初始条件 。 1. 差分方程的阶数：输出序列的最高序号与最低序号之差。 2. 前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。 例： 一质点沿水平作直线运动，它在某一秒内所走的 距离等于前一秒内所走距离的 2 倍，试列出描述该质点 行程的方程。 解：这里行程是离散变量 k 的函数。 设 y(k) 表示质点在第 k 秒末的行程， y(k1) 表示第 k+1 秒末的 行程，如图所示。 依题意，有 例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存 款后应有的存款额 y(k) 的方程。

8、解：第 k1 次存入后应有的存款额为 例：梯形网络如图，试列写节点电压 v(k) 的差分方程。 解：第 k 个节点如图所示，其 KCL 方程为 整理得 如果对第 k+1 个节点应用 KCL，可得到方程 说明：（1）由于上述两个差分方程描述的是同一个事物，所以 并无本质的区别。（2）这个二阶常系数线性差分方程的初始条 件有两个，v(0)=vs ， v(N)=0。（3）离散自变量 k 并不表示时 间，而是代表网络中的节点序号。 差分方程与微分方程的关系 设时间间隔 T 足够小，当 t=kT 时，有 例如一阶微分方程 此时微分方程可以近似为 数字计算机正是根据这一原理将微分方程近似为差分方程 ，再进

9、行计算的。 由于微分方程和差分方程形式上的相似，在很大程度上， 离散时间信号与系统的分析方法与连续时间信号与系统的分析 方法有着对应的相似关系。 5.2.2 离散时间系统的模拟 一. 运算单元 加法器和标量乘法器的功能和符号与连续系统相同。 延时器与积分器相对应： 二. 系统模拟 二阶系统的模拟 一般二阶系统的模拟 高阶系统 的模拟可 以类推。 返回 例：已知系统的差分方程如下，试画出其模拟图。 解：由系统的差分方程画模拟图的方法很多，如 注意：模拟图中激励必须是 x(k)，响应必须是 y(k)。 这是一种不规范的模拟图，它多用 了一个延时器。 例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。 解：

10、由模拟图知，加法器的输出为 ，另一延时 器的输出为 。 对加法器列方程，得 5.3 离散时间系统的零输入响应 求解离散系统响应的方法： 1. 迭代法 一般只能得到数值解（不易得到闭式解）。 2. 时域经典法 求出齐次解与特解，利用初始条件确定系数。 3. 求解齐次差分方程得到零输入响应； 利用卷积分析法求解零状态响应。 4. Z变换分析法 返回 一. 迭代法求解齐次差分方程 可以相继算出： 一般只能得到数值解（ 不易得到闭式解） 二. 经典法求解齐次差分方程 代入差分方程中，可得 上式称为差分方程的特征方程，它的根称为特征根。 返回 1. 当特征方程的根为互不相等的实根时 例：某数列的首项为

11、0 ，次项为 1 ，第 3 项以后各项的数值等 于其前两项数值之和，试建立差分方程并求解。 解：显然，差分方程为 设 r1 为 m 重根，齐次解中相应的 m 项为 2. 当特征方程有重根时 3. 当特征方程有共轭复根时 此时 或者 例：求差分方程的齐次解 解：齐次方程为 特征方程为 特征根为 代入初始条件 注意：1. 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起 的初始条件；2. 初始条件为 n 个任意时刻的响应值，故零输入 响应的表达式不再加写后缀 k0。 例5-3-3 描述离散时间系统的差分方程为 解：特征方程为 在差分方程中，令 k = -1，得 可见 y(2) , y(1) , y(

12、0) 和 y(-1) 与激励无关，仅由初始储能引起。 在差分方程中，令 k = 0，得 可见，y(3) 与激励有关，是初始储能和激励共同引起的，不能用 来确定零输入响应的待定系数。将 y(1)=1, y(2)=2, y(3)= -2 代入 上式，可得第三个零输入条件： 于是得到 5.4 离散系统的零状态响应 1. 经典法：首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始 条件，确定待定系数。（当激励信号较复杂，或差分方程阶数较 高时，此法不合适。） 2.卷积分析法 5.4.1 离散信号的分解与卷积和 设单位函数响应为 h(k) 根据线性和时不变性，有 返回 用卷积符号记为 称为卷积和或离散卷积。

13、可以证明，其代数运算与卷积积分相 同，也服从交换律、分配律和结合律。 若 k k1 时，x (k) = 0; k k2 时，h (k) = 0; 确定求和限 的一般公式为 5.4.2 计算卷积和的几种方法 一. 图解法 步骤：1. 换元；2. 折叠 h(-n)；3. 移位 h(k-n)； 4. 相乘 x(n)h(k-n)； 5. 求和。 返回 二. 不进位乘法 序列阵表格法 x(k ) h(k) 215 36315 1215 48420 24210 返回 有限序列卷积和的特点： 设 x(k) 和 h(k) 的非零项数分别为 nx 和 nh ，相应的 始终序号分别为 xs ， xe 和 hs ，

14、 he，则： 1. yzs (k) 的非零项数为 ny = nx+nh 1; 2. yzs (k) 的始终序号为 xs+ hs ， xe + he ; 3. 序列 x(k) 的所有项之和与 h(k) 的所有项之和的乘积 等于序列 yzs (k) 的所有项之和 。 利用这些特点，可以检验计算结果是否正确。 三. 解析法 返回 5.4.3 单位函数响应 1. 直接求解法 返回 2. 间接求解法 返回 离散时间系统的全响应 例 某离散时间系统由下列差分方程描述 解 先求零输入响应 返回 本章要点 1.离散信号的基本运算 相加 相乘 移位 折叠 差分 求和 2.常用的离散信号及其表示方法 单位函数的性质以及与单位阶跃序列的关系 Z 序列 3.离散系统的差分方程、离散系统的模拟 4.离散系统的零输入响应 经典法求解齐次差分方程 5.离散系统的零状态响应（离散卷积） 图解法 不进位乘法 解析法 单位函数响应：直接法 间接法 6.离散系统的全响应 返回 作业 5.1-5.2： 5-2，5-3，5-6，5-7,5-8(b）,5-12,5-23 5.3： 5-14 5.4： 5-15, 5-17，5-18, 5-20，5-24 返回