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1、Chapter 1(1)Chapter 1(1) 函数及其图形函数及其图形 同时发 明了微积分,微积分研究的主要对 象就是函数。 微积分(Calculus)是一门以变 量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科,应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题,就产生了微分学; 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题,就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 教学要求: 1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法; 2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性; 3. 理解复合函数的概念,了解反函数的概念; 4. 掌握基本初等函数的性质及其
2、图形; 5. 会建立简单应用问题中的函数关系式. 重点:掌握函数定义,搞清楚函数关系与数学解析式的 关系,分段函数是否是初等函数. 1. 定义 设x与y是两个变量,分别在实数集合A与B中取值. 对每一个值xA,按照某一法则,y存在着唯一确定 的值yB与之对应,记为f(x)(xf(x),则称y是x的函 数,或称这种对应关系 f 为函数,记作 因变量自变量 数集A叫做这个函数的定义域 注意 (1)定义域和对应法则是函数的两要素. 要判断两函数是 否为同一函数也得从两要素入手. (3)单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数 值总是只有一个,这种函数叫做单值函数;否则叫做
3、多值函数 (4)只有一个自变量的函数,称为一元函数. 2. 定义域 (1)由实际问题决定. (2)自然定义域. 当函数由公式(表达式)给出时,使公 式有意义的自变量的取值范围. 如: 分式的分母不为0; (3)定义域的表示法: 不等式法,集合法,区间法,叙述法与图示法. 区间:是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 邻域: ex1. 求函数的定义域 Solution. 所以函数的定义域为(1,2. Solution. ex3.
4、函数 f 与 g 是否是同一函数? 3. 函数的图形 4. 分段函数 对于自变量的不同值(或在不同区间上),函数的表 达式不同,这种函数称为分段函数. (1) 绝对值函数 (2) 符号函数 1 1 x y o (3) 取整函数 y=x x表示不超过x的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o (4) (Dirichlet)狄利克雷函数 有理数点无理数点 1 x y o (5) 取最值函数 y x o y x o (6) 整标函数 以自然数为自变量的函数: 图形为一些离散的点构成. 1. 函数的单调性 则称 f(x)在I上严格单调上
5、升或严格单调增(严格单调 降下或严格单调减). 则称 f(x)在I上单调上升或单调增(单调降下或单调减). 以上函数统称为单调函数,I称为单调区间. 由有限个单调函数组成的函数,称为分段单调函数. 如 2. 函数的有界性 通常函数的有界性与区间有关, 3. 函数的奇偶性 偶函数图形关于y轴对称 y xox-x 奇函数图形关于原点对称 y xox -x 注意: (1) 若f(x)的定义域关于原点不对称,则f(x)一定不是奇 函数或偶函数. 即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. (3) 奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数, 奇函数的和与差仍是奇函数; 两个奇(或偶)函数的商是偶函数
6、; 奇函数与偶函数的积(或商)是奇函数; 有限个偶函数的积仍是偶函数; 偶数个奇函数的积是偶函数. 4. 函数的周期性 任一周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期 中,存在一个最小的正数,则这个正数称为最小周 期,简称周期. 1. 四则运算 2. 复合函数 定义: 注意: (2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 复合函数的求法: (1)对于非分段函数常用直接代入的方法; (2)对于分段函数常用讨论的方法. 3. 反函数 定义: 这样的对应关系所决定的Y到X的函数,称为y=f(x)的 反函数,记为 注意: (1)反函数的定义域和值域
7、恰好是原来函数的 值域和定义域. D W D W (2)直接函数与反函数 的图形关于y=x对称. 反函数的求法: (1)一般先从方程y=f(x)中解出x, 然后再将所得结果中的 x与y互换位置即可; (2)对分段函数,只要分段求出反函数便得. 1.基本初等函数 (1)常数函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)对数函数 (5)三角函数 正弦函数余弦函数 正切函数余切函数 正割函数余割函数 (6)反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初
8、等函数. 并非所有的函数都是初等函数, 分段函数一般不是初等函数. 但也有例外! 3.双曲函数与反双曲函数 -都是初等函数. Solution. Solution. 由此可求得x的取值范围,即为定义域. Solution. 易知该函数的定义域为: Solution. Solution. 因为 所以 Proof. 两式联立可求得, Proof. 由单调性及已知不等式有, Solution. 故所求反函数为 Solution. The end 大学数学 一元函数微积分与无穷级数 线性代数与空间解析几何 多元函数微积分与常微分方程 概率论与数理统计 购买练习册与典型习题解答通知 时间: 9月28日(星期四)下午2:306:00 地点: 二教 216(二楼西) 价格: 40元 / 套