工程力学课件-第2部分

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1、第2章 平面力系的简化 与平衡 工程力学 1 第2章 平面力系的简化与平衡 平面力系作用在物体上各力的作用线都在同一平面内。 工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。 P1 P2 FAx FAy FD D A B D C P1 45 A P2 (a) B 空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。 2 第2章 平面力系的简化与平衡 2.1 平面汇交力系 2.2 平面力偶系 2.3 平面一般力系 2.4 考虑摩擦时的平衡问题 2.5 静定与静不定的概念 物体系统的平衡 本 章 目 录 3 2.1 平面汇交力系 2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 P P1P2 平面汇交

2、力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 A P3P2 P1 A 包括自重与 液体重力 4 O 力多边形法则：力多边形法则： 汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd， 称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od ，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。 力的可传传性 合力大小与分力的次序无关。 O O a c d b O O 2.1 平面汇交力系 2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 1.合成的几何法 5 O 力的可传传性 O O O 合力可以表示为： 若力系为n个力，合力可以表示为 ： 汇交力系与其合力 等效。 2.1 平面汇交力系 2.

3、1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 1.合成的几何法 6 平面汇汇交力系平衡的充要条件是合力为为零。 力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。 O O 为平衡力系。则 平衡条件的平衡条件的几何形式：几何形式： 平衡的几何法 O 2.1 平面汇交力系 2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法 7 （4）确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可 利用三角关系求得。 b 30 60 例2-1 如图，P=10kN。两杆自重不计。求两杆的受力。 A B C P 30 60 O a P （3）画力多边边形： 确定未知力方向：力多边边形中各力的方向为实际为实际 方向，与受力图图一致。 （5）答案：

4、由作用反作用公理，AB受拉力 5 kN；BC受压压力 8.66 kN。 （1）研究对象：销钉 B （2）画受力图； FBA FBC 5kN 销钉B B FBC FBA P C B FBC FCB B A FBA FAB 选取比例尺； 解： 8 2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 合成的解析法 合力 平面汇汇交力 系 O y y x 因为 每个力 合力投影定理： 2.1 平面汇交力系 9 已知合力在直角坐标轴的投影 Fx、Fy 时，可求力FR 大小和 方向。 合力的大小 合力的作用点为力系的汇交点。 Fx 0 Fy 0 Fx 0 Fx 0 Fy 0 Fx 0 Fy 0，FRy0，所以合力

5、指向第四象限，指向如图。 11 平面汇汇交力系平衡的充要条件是：该该力系的合力等于零。 平面汇交力系的平衡方程 平衡的解析条件： 力系中各力在x、y轴轴上 投影 的代数和为为零。 有2个平衡方程， 只能求解2个未知量。 2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 平衡的解析法 2.1 平面汇交力系 12 利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为 ：1、选选取研究对象。 应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。 2、画画受力图。(标清几何关系) 3、建建立坐标系。 原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。 4、列列平衡方程。 注意：不要列成左式等于右式的形式。 5、解解平衡方程。 6、答答

6、案，必要时作出讨论或说明。 2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 平衡的解析法 2.1 平面汇交力系 13 解： （3）建立坐标系：Axy （4）列平衡方程： （5）解得：FA= 22.4kN 例2-3 刚架如图所示，受水平力作用， P=20kN，不计刚架自重，求 A、D 处的约束反力。 4m BP A C D 8m x y P FD （1）研究对象：刚架 （2）受力如图： FA cos + P = 0 FA sin FD= 0 FA 为负，表明其方向与图示相反。 FD= 10kN FD为正，表明其方向与图示相同。 8m 4m A BC D FA 14 y x FBC FCB C B F

7、BA B A FAB B 30 FBC FBA F1 F2 （3）建立坐标系：Bxy C A B D 30 60 P 例2-4 已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。 （4）列平衡方程： 解： 分析题意 滑轮大小不计，可为点B。 （1）研究对象：滑轮和销轴。 （2）受力如图： F1cos30 FBCF2sin30 =0 FBA= 0.366P FBC为正，表明其方向与图相同， FBC与图相同，BC受压。 FBC= 1.366P FBA为负，表明其方向与图相反，FBA与图相反，AB受压。 （5）解得： BF2 30 FBC FBA 30 F1 F1=F2=P F1sin30F2co

8、s30FBA=0 15 2.2 平面力偶系 2.2.1平面力偶系的合成 BA d F1 F1 d1 d2 F2 F2 FF3 F4 F2 d2F4 d m = Fd =（F3F4）d F3 F3 F4 F4 F1d1F3 d = m1 + m2 = F1d1F2d2 设同一平面内有两个力偶（F1，F1）、（F2，F2），力偶臂 分别为d1、d2，力偶矩分别为 m1= F1d1 、m2=F2d2 。求它们的合 成结果。 d F F B A 16 平面力偶系的合成结结果为为一合力偶，合力偶矩等于各个 力偶矩的代数和。 2.2.2 平面力偶系的平衡 只有一个平衡方程，只能求解一个未知量。 平面力偶系

9、平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代 数和等于零。 2.2 平面力偶系 2.2.1平面力偶系的合成 17 45 AB RAC （2） 受力如图。 （1）研究对象：AB （3）列平衡方程： （5）由力偶的特点，A点反力RA=RB，方向如图。 （4）解方程 解 A D RCA m l RA RB B 例题2-5 已知如图：求A点和B点的约束力。 m 45 A D l 18 例2-6 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力 和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为： m1m210Nm，m3 20Nm。固定螺钉A、B的间距为l200mm。 求两个螺钉所受的水 平力。 m3 m1 m2

10、 l A B m3 m1 m2 A m3 m1 m2 A B FB FA 解： 研究对象：工件 由力偶系的平衡条件： 结结果为为正，说说明图图示方向为为力的实际实际 方向。 FA、FB必组组成力偶与其它三个力偶平衡。 从而 解得： 19 2.3 平面一般力系 2-3-1平面一般力系的简化 O O O简化中心 Fn mn m3 F3 F2 m2 mO F3 F2 F1 Fn O 平面一般力系 平面汇交力系 平移 为原力系的主矢。作用在O点，大小和方 向与简化中心O无关。 为原力系的主矩。大小和方向一般与简化 中心O有关。 平移合成 力 合成 力偶矩 合成 F1 m1 平面力偶系 20 mO 主矩

11、的大小： O y x 平面一般力系 平面汇交力系力 平面力偶系力偶矩 建立坐标系xy 主矢的大小： 利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向。 2.3 平面一般力系 2-3-1平面一般力系的简化 21 固定端约束 约束反力的确定： 按平面一般力系的简化，得到一 个力和一个力偶。 为便于计算，固定端的 约束反力画成正交分力 和一个力偶。 结构图 a d 简图 b c FAx FAymA mA FA 2.3 平面一般力系 2-3-1平面一般力系的简化 22 此时，简化结果与简化中心位置无关。 2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理 此时，简化结果与简化中心位置有关。 简化结果 （2

12、） （1） 合力偶原力系 力偶系 其合力偶矩 原力系汇交力系合力 2.3 平面一般力系 23 mO O d O O 即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、 主矩方向；合力作用线到O点的距离由d 确定。 (3) 原力系合力 O O d 2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理 力偶等 效表示 减去平 衡力系 2.3 平面一般力系 24 合力矩定理 平面一般力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中 各力对同一点的矩的代数和。 原力系为平衡力系。（4） 2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理 2.3 平面一般力系 25 求合力的大小：建立坐标系Axy。

13、x y dxx qx 解：合力的方向向下。 取微段dx， 其上合力dFR =qxdx，方向向下。 在任意截面 x 处 分布力合力 求合力的作用线(利用合力矩定理) xC 即： 即 dFR 例2-7：水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的 最大值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。 q（N/m） A B l FR 26 总结：分布力的合力 （2）大小：等于载荷集度 q 乘以分布长度，即 ql。 （1）方向：与分布力 q 相同。 （3）作用线：通过分布长度的中点。 FR A B l xC C D q （1）方向：与分布力相同。 （2）大小：等于由分布载荷组成的 几何图形的面

14、积。 （3）作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。 ql BA l q均布载荷的合力。 载荷集度为 q。 27 2.3.3平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的充要条件：主矢，主矩 即： 平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数 和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。上式称 为平面一般力系的平衡方程。 有独立三个方程，只能求解三个未知数 为方便计算：为方便计算： 2、矩心应取在两未知力的交点上。 1、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直。 28 例2-8 水平梁长为4m，重P=10kN，作用在梁的中点C。承受均 布载荷q=6kN/m ，力偶矩M

15、8kNm。试求A、B处的约束力。 P 4m 2m q m C B A 45 解： B 8 解方程得： 研究对象：水平梁AB F F AxAx F F AyAy FB y x 注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（1）均布载荷 的投影与对点之矩。（2）力偶的投影与力矩。 29 ABD P FB 45 y x 解得：FB28.28kN 例：已知如图ABBDl，载荷 P10kN。设梁和杆的自重不 计，求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。 C B FC FB P AD C 45 解： 研究对象：ABD梁。 A FAxFBcos 45 0 FAyFBsin 45P0 FBsin 45l P2 l 0 ll FAx 20kN FAy10kN (负号表明反力方向与图示相反) B FAx FAy 由作用反作用公理，BC杆受压力 28.28kN 30 P AD B C 45 y x ll A FAx FAy FC B45 P D C l 如果写出对A、 B两点的力矩方程和对x 轴的投影方程： 如果写出对A、 D、 C三点的力矩方程：