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1、第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 P * O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一 力矩(Torque) 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 O 讨论 1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和 其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的 力矩 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 O 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、O 二 转动定律(Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis) 2）刚体 质量元受外力 ，内力 1）单个质点 与转 轴刚性连接 外力矩内力矩 O 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 定义转动惯量 (Moment of Inertia) O 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 三 转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量 ：质量元 第四章 刚体的
3、转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 1、转动惯量的大小取决于刚体的质量及其分布、形 状及转轴的位置 . 注意 2、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物 理量。地位等同于质点力学中质点的质量。 3、转动惯量的单位是 ，量纲是ML2 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 O O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 例1 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O O 如转轴过端点垂直于棒 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 O R O 例2 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直
4、的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 而 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 例3 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上 ，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、 质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的 物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的 摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少 ？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从静止落下距离 时， 其速率是多少？ （若水平面不光滑又 如何？） A B C 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律
5、 转动惯量 A B C O O 解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 . 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 如令 ，可得 （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 A B C 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 例4 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 . 试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角 速度 . 解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 式中 得 由角加速度的定义 代入初始条件积分 得 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 补充：证明球体对任意直径的转动惯量为：补充：证明球体对任意直径的转动惯量为： 证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作 为质元 dz z R r o 第四章 刚体的转动4 2 力矩 转动定律 转动惯量 证明：将均质球体分割成一 系列彼此平行且都与对称轴 垂直得圆盘，则有 即
