材料力学第九章.

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1、第九章 组合变形时的强度计 算 9-1 组合变形与叠加原理 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组合 9-3 偏心压缩与截面核心 9-4 扭转与弯曲的组合 小 结 一、组合变形的概念 1组合变形： 9-1 组合变形与叠加 原理 构件同时存在两种以上基本变形。 斜弯曲(两个平面弯曲的组合) 2分类： 拉伸(压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压； 扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合； 3几种情况： 一般不考虑剪切变形； 含弯曲的组合变形，以弯曲为主，用弯矩判定 危险截面，且一般不考虑弯曲切应力； 二、工程实例 9-1 组合变形与叠加 原理 1齿轮传动轴 2烟囱 F 啮合力 F Me 压弯组合弯扭组合

2、 二、工程实例 压 弯 组 合 9-1 组合变形与叠加 原理 3钻床立柱 弯 扭 组 合 9-1 组合变形与叠加 原理 二、工程实例 4标牌立柱 三、计算方法(叠加法) 9-1 组合变形与叠加 原理 1叠加原理： 线弹性、小变形下，每一组载荷 引起的物理量(变形、内力和应力等)不受彼此 影响，可采用代数相加。 1)外力分解或简化：使每一组力只产生一个方 向的一种基本变形； 2计算方法： 2)分别计算各基本变形下的内力及应力； 3)各基本变形应力进行叠加(危险截面危险点)； 4)对危险点进行应力分析(s1s2s3)； 5)用强度理论进行强度计算。 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组 合 弯拉组合偏心

3、拉伸 (外力偏离轴线)(横向载荷轴向载荷) 一、拉(压)弯组合分类 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组 合 二、分析 危险点处单向应力 内力FN，Mmax 例9-1 图示起重机的最大吊重G=12kN，材料s=100MPa，为 AB杆选择适当的工字梁。 B 2m1m 1.5m G AC 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组 合 FAy FAx FC CAB G 24kN _ FN FCx FCy 12kNm _ M 解：1)作AB杆的受力简图： 2)作AB杆的内力图： C左截面为危险截面 3)按弯曲正应力预选AB梁W： 4)查表选W=141cm3，按压弯 组合变形进行校核： 解：1)横截面形心到F距离e：

4、 F e h z yc y C FN=F M=Fe a y2yc b c 2)横截面内力： 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组 合 例9-2 图示铸 铁制压力机， st=35MPa，sc=140MPa， F=1400kN，试校核该压力机立柱强度。立柱截面： yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2， Iz=8.0109mm4。 500 F F F e y2yc b c a FN=F sN sa sb M=Fe 3)轴力FN作用下横截面上的应力： 弯矩M作用下横截面上a、b点 的应力： 4)组合应力： sa sb 9-2 拉伸(压缩)与弯曲的组 合 9-3 偏心压缩与截面核 心 一、

5、偏心压缩 1横截面任意点的应力： Fx，y、z轴为形心主惯性轴 ，F向形心简化： 各力在任意点B( y，z)点引起 的应力为： F ： Mz： My： z y O x F Mz My zF yF F Mz My F A B B点组合应力： O z y yF zF A y B z 式中： 截面对z、y轴的惯性半径 9-3 偏心压缩与截面核 心 一、偏心压缩 1横截面任意点的应力： 2中性轴方程及位置： 中性轴处的正应力为零： 直线 9-3 偏心压缩与截面核 心 一、偏心压缩 O z y yF zF A y B z D1 D2 中性轴在y、z轴的截距： az ay 中性轴与F作用点位于截 面形心的

6、两侧。 中性轴将截面分成两区，压力F区受压，另一区 受拉。截面周边切线平行中性轴的D1和D2点， 离中性轴最远，分别有最大压、拉应力。 1定义： 二、截面核心 2研究意义： 压力F作用在截面的某区域时，整个截面上只 产生压应力，该区域就称为截面核心。 混凝土柱或砖柱的抗拉性能很差，横截面上不允 许产生拉应力； 地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离 地基。 9-3 偏心压缩与截面核 心 3求截面核心方法： 以截面周界或切线为中性轴，根据其在形心主轴y 、z上的截距ay、az反求出相应压力F作用点位置， 其连线区域即为截面核心。 截面周界为直线，对应的压力作用点为一点； 截面周界有棱角，对应的

7、压力作用点为直线； 中性轴不能穿过截面，当截面周界有内凹时，取 中性轴为跨过内凹部分的切线。 9-3 偏心压缩与截面核 心 二、截面核心 4矩形截面的截面核心： y b h z 1 2 3 5 4 B(yB，zB) 1)中性轴在位置时： 1点坐标： 2)中性轴在尖点B处： 2点： 3点： 4点： 直线152 3)顺序连接1-2-3-4得 到矩形截面的截面 核心： 9-3 偏心压缩与截面核 心 二、截面核心 9-4 扭转与弯曲的组 合 一、单向弯曲与扭转 F Fa Fa Fl M T _ _ 1)外力向B截面形心简化 建立计算模型 2)作扭矩图和弯矩图 问题：校核图示钢制摇 臂轴强度，已知构件尺

8、 寸和材料的s 。 找危险截面 固定端A截面： x l a y z F C d A B 9-4 扭转与弯曲的组 合 一、单向弯曲与扭转 A t t K1 K2 ss t s K1 t s K2 s s M T 3)危险截面的危险点 K1、K2点，t、s数值 均为最大危险点 K1点：K2点： x l a y z F C d A B 9-4 扭转与弯曲的组 合 一、单向弯曲与扭转 4)对危险点进行强度计算 K1、K2点单元体的s、t 数值分别相同，危险程 度也相同，不妨取K1点研究： A s t s K1 K1 A向 一、单向弯曲与扭转 9-4 扭转与弯曲的组 合 5)对sr3、sr4公式的讨论(

9、以sr3为例) 任意应力状态； 一方向正应力为零的 平面应力状态； 圆轴的弯扭组合变形； 6)拉(压)、弯、扭组合变形的强度计算 计算横截面弯曲和拉压的正应力并代数相加减； 计算扭矩在横截面的切应力； 采用上 (2)式进行强度计算； 9-4 扭转与弯曲的组 合 解：1)内力分析 C截面为危险截面： 2)强度校核 6kN 例9-3 图示悬臂梁直径d=30mm，材料s=85MPa，试按 第三强度理论较核梁的强度 500500 AC B 3kN 1.6kNm + 1.6kNm T M - 1.5kNm 二、双向弯曲与扭转 9-4 扭转与弯曲的组 合 对于圆轴，由于对称性，同一横截面上两个方向 的弯矩

10、可以矢量合成，按单一弯矩计算： 可以证明两平面弯矩图所有尖点间的合成弯 矩图为凹曲线，因此危险截面可能在两个平 面弯矩图的所有尖点处； 注意圆轴弯扭组合相当应力公式中的W是抗 弯截面系数。 9-4 扭转与弯曲的组 合 例9-4 已知dA=20cm，dB=10cm，a=0.5m，轴径d=50mm，材料 s=100MPa，F1=2kN，F2=4kN，不计自重， 用第三强度理论校核轴强度。 F2 B A d CD F1 aaa My F2a=1kNm 0.5kNm Mz F1a/2=0.5kNm 解：1)作计算简图 2)作Mz、My两平面内的 弯矩图 3)强度校核 F2 F1 yz x TB TA

11、9-4 扭转与弯曲的组 合 x y G Fy Fz3FS2 T T 例9-5 图示传动轴，传递功率7kW，转速200r/min。皮带轮B 重G=1.8kN。齿轮A啮合力Fn与齿轮节圆切线夹角为20o。 s=80MPa，按第三强度理论设计轴的直径。 z y D1 AB CD 200200400 f300 f500 D2 FS1=2FS2 FS2 GG 20o Fn Fy Fz 解：1)作计算简图 9-4 扭转与弯曲的组 合 2)作弯矩图(My、 Mz) My Mz 0.446kNm 0.8kNm 0.16kNm 0.36kNm 3)确定轴径： 扭矩处处相同，由弯矩 图不难看出：D截面为 危险截面

12、 x y G Fy Fz3FS2 T T CD 9-4 扭转与弯曲的组 合 例9-6 图示曲轴尺寸：r=60mm，l/2=65mm，l1/2=32mm， a=22mm。连杆轴颈直径d1=50mm，主轴颈直径d=60mm。 曲柄截面IIIIII的尺寸为：b=22mm，h=102mm。作用于曲 轴上的力有：连杆轴径上的力 FP1=32kN，FP2=17kN，曲柄 惯性力F1=3kN，平衡重惯性力F2=7kN。材料s=120MPa， 试校核曲轴的强度。 d1 l1/2 a l/2 b l1/2 l/2 ba d r h IIIIIIIIIIII F1F1 FP1 F2F2 FP2 A B MeFAy

13、 FBy FAz FBz 解：1)求支反力： 2)危险截面及分析组合变形： 轴颈中央I截面：双向弯曲与扭转组合变形； 主轴颈与曲柄交界面II截面：双向弯曲与扭转组合变形； 曲柄切于主轴颈的III截面：弯曲、扭转与压缩组合变形。 9-4 扭转与弯曲的组 合 O y z x F1F1 FP1 F2F2 FP2 A B l/2l/2 l1/2l1/2 r I II III 3)连杆轴颈的强度计算： xy平面内的弯矩： I截面内力： xz平面内的弯矩： 扭矩： 合成弯矩： 用第四强度理论校核强度： 9-4 扭转与弯曲的组 合 MeFAy FBy FAz FBz O y z x F1F1 FP1 F2F

14、2 FP2 A B l/2l/2 l1/2l1/2 r I 4)主轴颈的强度计算： xz平面内的弯矩： 扭矩： 合成弯矩： 9-4 扭转与弯曲的组 合 MeFAy FBy FAz FBz O y z x F1F1 FP1 F2F2 FP2 A B l/2l/2 l1/2l1/2 r II 用第四强度理论校核强度： xy平面内的弯矩： II截面内力： 5)曲柄的强度计算： 危险点有C点(smax)、 D点(tmax)，先校核C点： y x z III III Mx My Mz FN C D F2 FBz FBy Me 9-4 扭转与弯曲的组 合 MeFAy FBy FAz FBz O y z x

15、 F1F1 FP1 F2F2 FP2 A B l/2l/2 l1/2l1/2 r III III截面内力： 校核D点： tD sD 9-4 扭转与弯曲的组 合 5)曲柄的强度计算： y x z III III Mx My Mz FN C F2 FBz FBy Me 组合变形的基本解法叠加法； 拉(压)弯组合变形； 弯扭组合变形：单向弯曲和扭转；双向弯曲 和扭转。 小 结 一、本章重点 最大切应力或最大形状改变比能强度准则有 几种表现形式，分别适用范围是什么？ 组合变形应力应如何叠加？相当应力sr能否 叠加？ 试解释圆轴双向弯曲扭转组合变形为什么两 平面弯矩可以合成，其它截面轴行不行？ 试证明双向弯曲时两方向弯曲矢量合成时， 所有尖点间的弯矩图均为凹曲线，因此危险 点只可能在任意方向弯矩图的尖点处。 小 结 二、思考题