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1、第三章 流体动力学基础 描述流动参数与坐标及时间的关系 一、拉格郎日法 在xyz坐标系中，在t=0时刻，在（a,b,c）处的质点， 在t时刻运动到点（x,y,z） 称a,b,c,t为拉格郎日系数，即t时刻的x,y,z均是 a,b,c,t的函数 第一节 描述流体运动的两种方法 适用于观察研究初始时刻在（a,b,c）的质点随时间变化 的运动情况 也适用于观察研究初始时刻在（a,b,c）连续变化的质点系 1 二、欧拉法 在流体中，某一确定时刻，某一流体质点一定占据确定 位置（x,y,z）并具有所有的参数，如压强、温度、速 度、加速度 欧拉法就是通过研究流场中所有点的参数，实现对流动状 态的描述，并不
2、注意占据空间点的流体质点是哪一个 欧拉法的研究核心是流场中速度的描述 其余动态参数都是通过特定的关系求解得出，如压强、温 度、密度、加速度等 若流场中各流动参数与t无关 第一节 描述流体运动的两种方法 -定常流动，定常流场 若流场中各流动参数与坐标无关-均匀流动，均匀流场 2 一、流线与迹线 1.流线 某瞬时流场中的光滑曲线，曲线上各点的切线方向与各点的 瞬时运动方向一致 流线方程： 第二节 流体动力学基本概念 流线的性质： 与平行 定常流动时，流线形状不随时间变化 一般流线不相交，不能折线（处处可导） 3 n定常流动（恒定流动、稳定流动）：液体流动时，液 体中任意点的压力、速度和密度都不随时
3、间而变化 n非定常流动： 第二节 流体动力学基本概念 4 2.迹线 一段时间流体质点经过点的连线 二、流管与流束 第二节 流体动力学基本概念 性质： 流场中取一封闭曲线，作过曲线上所有点的流线，形成封 闭的管 -流管 1.流管具有流线的所有特性 2.流体质点不能穿过流管 流管中的流体-流束 5 三、过流断面、流量 与流线垂直的面 单位时间通过过流断面的流体体积 第二节 流体动力学基本概念 -流量 -过流断面 连续性方程（流动液体的质量守恒定律） 伯努力方程（能量方程） 动量方程 四、流体动力学主要研究内容 6 第三节 连续性方程 设A点的速度分量为 观察在时间内，流入、流出六面体的流体质量 取
4、一微元六面体： 流体密度为 X方向:流入： 流出： 均为的函数 7 第三节 连续性方程 令为时间内，流入、流出质量差，则 同理： 8 则时间内六面体流体质量变化为 质量变化由流入流出质量的差造成 第三节 连续性方程 单位时间内，通过单位体积流体表面流进、流出的流 体体积差等于同一体积内流体质量的变化值 -质量守恒 -连续方程的普遍形式 9 3.对于常见的管路内不可压缩流体，定常流动，过流截面 A1、A2上流体平均流速分别为 则 不可压缩流体 即 第三节 连续性方程 1.流体中，u 均为坐标及时间的函数，适用于可压缩流 体，非定常流动 2.对于不可压缩流体，c 10 第四节 理想流体的运动微分方
5、程 伯努利方程（流动液体的能量守恒定律） 理想流体微流束的运动微分方程（欧拉方程） 实际流体流束的伯努利方程 理想流体微流束的伯努利方程 11 理想流体：无粘性（无切向应力） 第四节 理想流体的运动微分方程 即： x方向力的平衡： 式中 在流场中取一微小六面体 流体质点加速度在x轴上的投影 12 由 和加速度定义得 第四节 理想流体的运动微分方程 同理： 理想流体的运动微分方程（欧拉运动方程） 13 第四节 理想流体的运动微分方程 1.适用于定常与非定常流动，可压缩、不可压缩流体 2.对于不可压缩流体， 则无论定常流动还是非定常流动，以上三个方程，在加上 连续方程， 理论上可以求解 实际上很难
6、有通解得出 14 3.对于气体，因质量力很小，可以忽略 第四节 理想流体的运动微分方程 上式变为 4.当流体处于平衡状态时， 上式变成了欧拉静力学微分方程 15 理想流体微流束的运动微分方程（欧拉方程） 实际流体流束的伯努利方程 理想流体微流束的伯努利方程 伯努利方程（流动液体的能量守恒定律） 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 16 在定常流动条件下 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 将欧拉运动方程的第一式各项乘以dx得 微元流束应满足流线方程： 即： 17 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 定常流动，括号内为 的全微分 同理： 代入得： 18 三式相
7、加： 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 对于不可压缩流体 或 对于重力场下的流体 19 条件：理想流体、不可压缩、微元流束、重力场下 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 1.物理意义 设单位质量质点所具有的总机械能为总比能， 位能： 动能： 压力能： 总机械能： 则总比能为： 一质点质量 ,高度 ,压强 ,速度 , 20 物理意义：理想流体、不可压缩、微元流束、重力场下各点 总比能为常数 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 能量守恒定律的具体表达式 -比位能 -比动能 -比压能 21 第五节 理想流体定常流动微元流束上的伯努利方程 2.几何意义 -高度水头
8、 -速度水头 -压力水头 几何意义：理想流体定常流动微元流束上各点总水 头在同一水平线上 22 理想流体微流束的运动微分方程（欧拉方程） 实际流体流束的伯努利方程 理想流体微流束的伯努利方程 伯努利方程（流动液体的能量守恒定律） 第六节 实际流体运动微分方程 23 一、作用在流体微元上的应力 第六节 实际流体运动微分方程 1.应力角标 第一位：表面力所在平面的法向坐标方向 第二位：表面力方向的坐标方向 表面外法线指向坐标正向：正面 表面外法线指向坐标反向：负面 正面上表面力与坐标正向相同为正， 反之为负 负面上表面力与坐标正向相反为正， 反之为负 24 第六节 实际流体运动微分方程 2.切向应
9、力之间的关系 六面体上所有法向应力角标中 有x的切向应力对x轴的矩均为0 所以： 25 第六节 实际流体运动微分方程 质量力产生的力矩 四阶无穷小，忽略 由平衡条件： 同理： 剪应力互等定理 26 二、本构方程 第六节 实际流体运动微分方程 1.切向应力 速度分布如图， t时刻有微元abcd， 经dt时间变为 abcd 速度梯度等于剪切变形速度 27 第六节 实际流体运动微分方程 将这一关系应用到空间流场中，将六面体投影到xy平面上 设abcd经dt时间后变形为abcd a点速度为 b点速度为 d点速度为 角变形速度： 28 第六节 实际流体运动微分方程 同理： 29 第六节 实际流体运动微分
10、方程 令： 则： 广义牛顿内摩擦定律 30 2.法向应力 若流体运动中有直线变形， 粘性将引起法向应力的变化 微元流体abcd经dt时间变为abcd，微元在x方向 的拉长所引起的粘性阻力势必阻止其变形，y方向的缩短 也会引起类似的粘性阻力 设粘性面引起法向应力为 第六节 实际流体运动微分方程 静止时： 31 第六节 实际流体运动微分方程 参照剪切变形的应力结果： 可见由于粘性的作用，各向的P并不一定相等 -各向异性 32 各向压强： 第六节 实际流体运动微分方程 33 第六节 实际流体运动微分方程 将法向、切向应力综合： 应力与应变速度关系 本构方程 34 第六节 实际流体运动微分方程 不可压
11、缩流体中各向同性压强等于三个方向压强的算术平均值 1.平衡流体中的静压强 各向同性压强P： 2.理想流体中流体的动压强 3.不可压缩实际流体动压强的算术平均值 对于不可压缩流体 35 第六节 实际流体运动微分方程 三、运动微分方程（N-S方程） X方向：前后两个面的法向合力： 四个侧面切向力合力： 36 第六节 实际流体运动微分方程 由牛顿第二定律： 质量力： 37 第六节 实际流体运动微分方程 的表达式代入 将 38 第六节 实际流体运动微分方程 若是不可压缩流体 同理： 式中： N-S方程 39 第六节 实际流体运动微分方程 1.若为理想流体，方程变为理想流体运动方程。 2.若为平衡流体，
12、方程变为欧拉平衡方程。 3.N-S方程是一个二阶非线性非齐次偏微分方程组，无法解得 通解 4.某些问题：如圆管层流、平行缝隙、同心环等可以解得精确 解，但大部分问题还只能求得数值解 40 一、实际流体流束上的伯努利方程 第七节 实际流体的伯努利方程 实际流体流动过程中，由于粘性的作用，总是有摩擦损失， 因而流束上各点的总能量不相等 1、2两点间单位质量流体的能量损失 二、实际流体总流的伯努利方程 将实际流体流束上伯努利方程两边乘以 41 即：单位时间流过的流体的能量关系 第七节 实际流体的伯努利方程 在总流过流断面A1、A2上积分，得出单位时间内总流上 的能量关系 若流线间夹角小（缓变流），可
13、以认为A1、A2为平面，则 42 第七节 实际流体的伯努利方程 而： N-S方程为： 43 在同一断面上，x为常数 对于不可压缩流体， 44 令： 则： 令：动能修正系数 则： 实际流体重力场下 不可压缩流体缓变 流伯努利方程 45 第八节 动量方程 由牛顿第二定律： 即动量的增量等于冲量 对于流体可以认为是有一定质量的质点系，则 动量对时间的导数就等于所有外力和 46 第八节 动量方程 对于定常流动的流体，t时刻流体处于1 -2之间，经dt时间移至1-2 动量的增量为： 即：控制体内流体经过dt时间动量的变化等于dt时间内流出 的动量减去流入的动量 47 第八节 动量方程 流出动量 设 则
14、动量修正系数 48 第八节 动量方程 则： 同理： 按三个坐标方向分解： 作业： 3-35 3-36 49 1 已知出口流量：q14 L/s，d1100mm， d2=75mm,d3=50mm,不计损失， 求水头高度H和M点压强。 解：出口流速： 习题 50 表面与出口处的伯努利方程： 由M点与出口处的伯努利方程： 51 由M点与出口处的连续性方程： 52 2 已知d1=30cm,d2=15cm. U型管中装有汞。 a=80cm,b=10cm,试求通过 流量。 解：由理想流体伯努利方程： 53 由连续性方程： 54 55 3已知：d100mm的虹吸管， h12m.若管中最大真空度 不超过7m水柱
15、，不计损失， 求：1）h2max? 2）qmax？ 解：1）由2,3处理想流体伯努利方程： 由连续性方程： 56 即： 2）当h2h2max时，qqmax 由1,3处理想流体伯努利方程： 57 4已知大气中一射流,v=5 m/s, =60。射流过流断面面积 A0.008m2,不计损失， 求：1）流量q1,q2； 2）射流对平板作用力。 解：设坐标 大气中的射流： 水平面作用： 由伯努利方程： 58 令： 由动量方程： 由连续性方程： 59 60 61 5量水桶放在磅秤上，若在水由垂直 上方落入桶中的同时测量水的重力W ，问和实际重力W0相差多少。 已知：水管出口断面积为a，出口速 度为v，管出口到水面的距离为H， 水桶截面积为A. 解：水流进入水桶后的动量发生了变 化，所以水桶对水流有作用力 设：水桶对水流的作用力为F，垂直向上 62 由动量方程得： 令： 由理想流体柏努力方程： 得： 由流体连续性方程 63 带入动量方程： 水流对水桶的作用为-F 64 6.一个100N的重物恰被一垂直水射 流所支承，其中d=6cm,出口速度 v=8m/s,不计沿程损失，求Y？ 解：水流接触重物后动量发生了变化 65 令： 则： 由出口和重物底面的伯努利方程： 66 7.如图，阀门关闭时，压力表的 读数为49 kPa,阀口打开后，压 力表的读数为19.6 kP
