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1、Chapter 3 Spatial symmetry operations 3.1 Basic spatial symmetry operations The operation which keeps the distance between any two points fixed. (Eulers theorem： Any two rotations around two axes intersecting at a point is equivalent to a rotation around certain axis through the same point) Any isom
2、etric operation is no other than translation, rotation, inversion, and the combination between them 3.2 Spatial operation: The Combination of rotation and translation 3.2.1 The combination of rotation and vertical translation: The translation of the axis 定理 3-1a 绕 A 轴旋转, 然后在 A 的 某方向上平移 t, 结果等价于 绕另一与
3、 A 轴平行的 O 轴旋转: O = t A t的始端位于轴 A, O 位于 t 的垂直平分线上一点, O 向 t 两端张开角 引理：若一个平面相对于一 个垂直轴转过，则该平面 上任何一条线段相对于该轴 转过, 并保持直线性。 (提示：线段绕垂直轴 A 转 是说该线段上任意一点绕A 转过同样的弧度。) 定理 3-1a (旋转与垂直平移的组合定理) 先绕 A 轴旋转, 然后在 A 轴的某方向上平移 t, 等于绕另一与 A 轴平行的 O 轴旋转: O = t A 定理 3-1b (垂直平移与旋转的组合定理) 先平移 t, 再绕位于平移矢 t 末端并与 t 垂直的 A 轴旋转, 等于绕另一与 A 轴
4、平行的轴 O 旋转 3.2.2 旋转与一般平移的组合: Screw The sequence of rotation and translation in the screw can be exchanged. 3.2.3 旋转与平行平移的组合: 螺旋 取向定理 推广: 晶体中螺旋轴必与点阵中某一维点列平行 。 轴次定理推广: 螺旋中旋转轴的轴次限于 1, 2, 3, 4, 6 。 螺旋轴的种类: 螺旋轴方向上的点阵周期为d, 该方向的平移 t 可超乎点阵平移 kd , t = kd + : intrinsic translation 考虑 组合 (kd +). Cn 时,可去掉kd, 因为k
5、d 不产生可分辨的效果, Cn 螺旋 nm 定义为 nm =. Cn nm 操作 n 次后, (nm)n = (. Cn)n = n n应为该方向点阵周期的整数倍, 即 n= md, 的取值为 = (m/n) d, ( m =1, 2, . , n-1) 螺旋 nm 中的内禀平移为平移方向上点阵周期 d 的 m/n 倍。 晶体学中的所有螺旋对称轴为: 21; 31, 32; 41, 42, 43; 61, 62, 63, 64, 65 定理 3-2 若晶体具有 nm 螺旋轴, 则其点阵具有相应的 n 重转轴, 二者的方向一致。 A D D A” 取向定理 推广: 晶体中螺旋轴必与点阵中某一维点
6、列平行 。 轴次定理推广: 螺旋中旋转轴的轴次限于 1, 2, 3, 4, 6 。 定理 2-3 (取向定理) 的推论: 晶体中的螺旋轴必须与点阵中某一维点列平行。 定理 2-4 (轴次定理) 的推论: 晶体中的螺旋转动角仍受晶体学轴次定理的制约。 定理 3-2 若晶体有 nm 螺旋轴, 则其点阵有 n 重旋转轴, 二者方向一致。 3.2 Spatial operation II: The Combination of reflection and translation 3.2.1 The combination of reflection and vertical translation:
7、 The translation of the mirror 定理 3-3a 先反映 m1, 再进行反映面法线方向上的平移 t, 两步操作等效于一个新的反映 m2: t m1 = m2 m2与m1平行, m2 距 m1 为 t/2, ( m1 m2 = t/2 )。 几何意义: t在 t/2 处 对 m 进行复制。 定理 3-3a (反映与垂直平移的组合定理) 先反映 m1, 再进行反映面法线方向上的平移 t, 等效于一个新反映 m2: t m1 = m2 m2 与m1 平行, m1 m2 = t/2 定理 3-3b (垂直平移与反映的组合定理) 先平移 t, 再对垂直于t的反映面m1反映 等
8、效于一个新反映 m2: m1 t = m2 m2 与m1 平行, m1 m2 = -t/2 3.3.2 The general operation ABCD ABCD 由转换公式: m qt = i 2h qt 由Eular定理: i 2hqt = i q t = q i t i 分解为 2 h mh: q i t = q 2h mh t = q+ mh t t 分解为 t t: q+ mh t =q+mhtt= q+ mh t m qt = q+ mh t (1) 当 = 时, 归结为滑移 m qt = mht= tmh mh与 t的组合 (可交换顺序)。 反映面 平移矢。 (1) 当 时,
9、 归结为旋转-反映 m qt = q+ tmh = q“+ mh 可见, 空间中的等距操作可概括为 : 类操作: (1) 螺旋 nm。 类操作: (2) 旋转-反映 (或旋转-反演), (3) 滑移 g。 a 3.3.3 glide 定理 3-4: 若晶体有滑移对称操作 g = m, 则其点阵有反映对称操作 m; 滑移面 g 与对称面 m 平行。 定理2-5 的推论: 晶体中的滑移面必须与相应点阵中的某二 维点阵平行。 g中的内禀平移量取值为滑移方向上点阵周期 t 的一半。 Axial glide = a/2,b/2,c/2 g1= c x, 0, z g2= c 0, y, z, Diago
10、nal glide = (a+b)/2,. g3 = n(1/2, 0, 1/2)x,1/4, z, g4= n(0, 1/2, 1/2) 1/4, y, z 滑移的图示 滑移面投影面 1.滑移矢投影面 . 2. 滑移矢投影面 - - - - 3. 对角滑移 - 滑移面投影面 3.4.2 对称要素的 图示 符号 3.4.3 对称操作的 Seitz 符号 Seitz 符号: 表示空间操作的符号 (W, w) 。 Seitz 符号 (W, w) 对空间任一点 x 的作用定义为 (W, w) x Wx + w (W, w) x Wx + w Seitz 符号的乘法规则 对点 x 依次进行 (W1,
11、w1) 和 (W2, w2), 得 (W2, w2) (W1,w1) x = (W2, w2) (W1x + w1) = W2 (W1x + w1) + w2 = W2W1x + W2 w1 + w2 = (W2W1 , W2w1 + w2) x 空间点 x 是任意的, 所以: (W2, w2) (W1, w1) = (W2W1, W2w1 + w2) 注1): (W, w)x = Wx + w , 并非: (W, w)x = Wx + wx 注2): (W, w) 的操作顺序是: 点操作在先, 平移在后。逗号 前者是点操作, 逗号后者是平移。 注3): Ww 是对平移矢 w 进行点操作 W
12、后的新的平移矢所 代表的平移, 不是平移w与点操作W的复合操作。 点操作的 Seitz为 (W, 0)，平移的 Seitz为(I, w)。 W 与 w 复 合操作的 Seitz为: (I, w)(W, 0) = (W, w) 进一步说明: (W, w) 是点操作在先, 平移在后。 若干运算规则: (1) WI = IW = W (2) W0 = 0 (3) W(w1 + w2) = Ww1 + Ww2 (4) W2W1w = W2(W1w) = (W2W1)w (W, w) 的操作之逆操作的 Seitz 符号记为(W, w)-1， (W, w)-1 = (W-1, -W-1w) 定理 3-5 若 (W, w) 是 晶体的对称操作, 则 W 是其 点阵的对称操作。 证: 设 (W, w) 是晶体的对称操作, 则 (W, w)-1 = (W-1, -W-1w) 是晶体的对称操作, 点阵平移 (I, t) 也是晶体的对称操作, 从而 (W, w)(I, t)(W-1, -W - 1w) = (I, Wt) 也是该晶体的对称操作。 (I, Wt) 表示对点阵平移矢 t 进行点操作 W 后新的平移。 即: 在 t = (x, y, z) 处有一点阵点, 则在 Wt 也有一点阵点 。足见W 是点阵的对称操作.
