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1、控制工程基础FundamentalsofControlEngineering第三章系统的时间响应分析3.1时间响应及其组成一、时间响应时间响应是指系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。二、时间响应的组成如下图的力学系统根据力学方程和微分方程的解可得:式中，第一、二项是由微分方程的初始条件(即系统的初始状态)引起的自由振动即自由响应。第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为应该说，第三项的自由响应并不完全自由，因为它的幅值受到F的影响。第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率。3.1时间响应及其组成对于一个n阶线性
2、定常系统，输入Xi(t)与输出Xo(t)之间关系的微分方程设其特征根为si(i=12n)且各不相同，则系统的时间响应可表示成3.1时间响应及其组成按响应的来源分为零状态响应和零输入响应。其中，零状态响应是指初始状态为零时，由系统的输入引起的响应，即；零输入响应是指系统的输入为零时，由初始状态引起的响应，即。在控制工程中，如无特别声明，本书所讲的响应往往是零状态响应。时间响应还可按其性质分为强迫响应项B(t)，自由响应项3.1时间响应及其组成三、微分方程特征根的意义若系统的所有特征根si(i=12n)均具有负实部，即Resi0，则有其自由响应项最终会趋于无穷大，即系统的自由响应项发散。这种系统称
3、为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。因此，系统特征根的实部决定了系统的稳定与否。若系统特征根的实部全部都小于零，则系统稳定；若系统特征根的实部不全小于零，则系统不稳定。3.1时间响应及其组成由系统特征根与系统传递函数极点之间的对应关系，还可得系统稳定的另一判据：若系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内，则系统稳定；若系统传递函数在s平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。对于稳定系统，Resi绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢。Resi绝对值越大，则它所对应的的自由响应项衰
4、减得越快；反之亦然。而系统特征根的虚部Imsi的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况，绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高，它决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性。3.2典型输入信号在控制工程中，常用的输入信号有两大类。其一是系统正常工作时的输入信号；其二是外加的测试信号，包括单位脉冲信号、单位阶跃信号、单位斜坡信号、正弦信号和某些随机信号等。输入信号的选择要综合考虑系统的工作条件和实验的目的。3.3一阶系统一、一阶系统的表示一阶系统传递函数的一般形式为式中，T称为一阶系统的时间常数，K称为一阶系统的增益。是一阶系统的特征参数.3.3一阶系统(t
5、)只有瞬态项，而其稳态项为零。即一阶系统的单位脉冲响应函数是一个递减的指数函数。二、一阶系统的单位脉冲响应(t)于是，一阶系统在理想的单位脉冲函数作用下，其响应函数等于系统传递函数的Laplace逆变换，即3.3一阶系统对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，称此过程经历的时间为过渡过程时间或调整时间，记为Ts。经过计算可得一阶系统的调整时间为4T。显然，系统的时间常数T愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性愈好。3.3一阶系统Xou(t)的瞬态项，其稳态项为1。即一阶系统的单位阶跃响应函数是一个递增的指数函数。三、
6、一阶系统的单位阶跃响应Xou(t)当系统的输入信号为单位阶跃函数时，即所以3.3一阶系统对一阶系统而言，过渡过程还可定义为其阶跃响应增长到稳态值的98%之前的过程，同样可算得相应的时间为4T。因此，时间常数T确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。3.3一阶系统由以上分析可知，若要求用实验方法求出一阶系统的传递函数G(s)，就可以先对系统输入一单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，当然包括其稳态值xou()，然后从响应曲线上找出0632xou()(即特征点A)处所对应的时间t这个t就是系统的时间常数T；或者找出to时xou()(即特征点0)的切线斜率，这个斜率
7、的倒数也是系统的时间常数T。再参考式(331)求出(t)，最后由G(s)L(t)求得G(s)。3.3一阶系统四、线性系统输出与输入的关系考察一阶系统的单位阶跃响应函数Xou(t)与单位脉冲响应函数(t)，可知它们之间的关系为，并且其输入的关系为。事实上，对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。3.4二阶系统一.二阶系统的表示二阶系统的传递函数有如下两种形式：其中，n是二阶系统的特征参数，它们
8、表明二阶系统本身的与外界无关的固有特性。一般将式（3.4.1）所示的系统称为无零点的二阶系统或典型的二阶系统，而将式（3.4.2）所示的系统称为有零点的二阶系统。在不特别声明的情况下，本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。3.4二阶系统二阶系统的特征方程是由上式可见，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根分布不同，亦即二阶系统传递函数的极点分布不同。不同的极点分布情况，决定了二阶系统在不同的阻尼情况下，其自由响应项不同。当1时，二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性，而不会出现振荡。在无振荡单调上升的曲线中，以=1时的过渡过程时间ts最短。在欠阻尼系统中，当=0.40.8时，不仅其过渡过程时间比
9、=1更短，而且振荡也不太严重。因此，一般希望二阶系统工作在=0.40.8的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数d，可以使系统具有合适的过渡过程。3.4二阶系统由于系统输入的不同，二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应不同，但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一致的。当系统为无阻尼系统时，均为等幅振荡；当系统为欠阻尼系统时，均为减幅振荡；而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时，均不会出现振荡。在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统。这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。3.4二阶系统三.二阶系统响应的性能指标在许多情况下，
10、系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。通常，系统的性能指标，根据系统对单位阶跃输入的响应给出。其原因有二：一是产生阶跃输入比较容易，而且从系统对单位阶跃输入的响应也较容易求得对任何输入的响应；二是在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。由于完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以，除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，其目的是为了获得较短的过渡过程时间。这就是在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼状态下工作的原因。因此，以下二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的；更确切地说，是针对欠阻
11、尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。3.4二阶系统二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬态性能指标包括上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振荡次数N等。1上升时间tr：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间。当一定时，n增大，tr就减小；当n一定时，增大，tr就增大。3.4二阶系统2峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。当一定时，n增大，tp就减小；当n一定时，增大，tp就增大。3最大超调量Mp：一般用下式定义系统的最大超调量，因此，Mp与n无关，而只与有关。增大，Mp就减小；反之亦然。3.4
12、二阶系统4调整时间ts：在过渡过程中，xo(t)取的值满足下面不等式时所需要的时间，定义为调整时间。不等式为当一定时，n增大，ts就减小；当n一定时，增大，ts也减小。在设计二阶系统时，一般取0707作为最佳阻尼比。这是因为此时不仅ts小，而是超调量也不大。3.4二阶系统5振荡次数N：在过渡过程时间内，xo(t)穿越其稳态值xo()的次数的一半定义为振荡次数。即振荡次数N随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。3.4二阶系统从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出：(1)系统性能指标的矛盾性。一般说来，系统的上升时间tr、峰值时间tp等反映系统响应快速性的性能指标与
13、最大超调量Mp、振荡次数N等振荡性能指标是相互矛盾的。(2)为了使二阶系统具有满意的动态特性，必须合理选择系统的阻尼比和无阻尼固有频率n。一般的做法是先根据最大超调量Mp、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比，然后再根据上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率n。需要说明的是，以上各个性能指标的公式是从典型二阶欠系统的阶跃响应中推导出来的。如果系统是具有零点的二阶系统，这些公式是不能直接应用的。但是，其性能指标同二阶系统特征参数之间的变化趋势却保持不变。3.4二阶系统3.4二阶系统3.5高阶系统大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种用高阶微分方
14、程描述的系统叫做高阶系统。高阶系统均可化为零阶、一阶和二阶环节的组合。而一般所重视的是系统的二阶环节，特别是二阶振荡环节。高阶系统传递函数的普遍形式可表示为系统的特征方程式为设系统传递函数的m个零点为-zi(i1，2，m)，则系统的传递函数可写为3.5高阶系统在单位阶跃输入Xi(s)1s的作用下，输出为式中式中第一项为稳态分量，第二项为指数曲线(一阶系统)，第三项为振荡曲线(二阶系统)。因此，一个高阶系统的响应可以看成是多个一阶环节和二阶环节响应的叠加。上述一阶环节及二阶环节的响应，决定于pjknk及系数AjDk，即与零、极点的分布有关。因此，了解零、极点的分布情况，就可以对系统性能进行定性分
15、析。3.5高阶系统(1)当系统闭环极点全部在s平面左边时，其特征根有负实根及复根有负实部，从而上式第二、三项均为衰减的，因此系统总是稳定的，各分量衰减的快慢，取决于极点离虚抽的距离。当pjknk愈大，即离虚轴愈远时，衰减愈快。(2)极点位置距原点越远，则对应项的幅值就越小，对系统过渡过程的影响就越小。另外，当极点和零点很靠近时，对应项的幅值也很小，即这对零、极点对系统过渡过程的影响将很小。系数大而且衰减慢的那些分量，将在动态过程中起主导作用。(3)如果高阶系统中离虚轴最近的极点其实部小于其他极点实部的l5，并且附近不存在零点，可以认为系统的动态响应主要由这一极点决定，称为主导极点。利用主导极点
16、的概念，可将主导极点为共轭复数极点的高阶系统，降阶近似作二阶系统来处理。3.5高阶系统设有一系统，其传递函数极点在s平面上的分布如图所示。极点s3距虚轴的距离不小于共轭复数极点s1s2距虚轴距离的5倍，即IRes3|=|Res1|5n(此处n对应于s1s2)；同时，极点s1s2附近无其他零点和极点.由以上已知条件可算出与极点s3所对应的过渡过程分量的调整时间为由图可知，由共轭复数极点s1s2确定的分量在该系统的单位脉冲响应函数中起主导作用，即主导极点，因为它衰减得最慢。其他远离虚轴的极点所对应的单位脉冲响应函数衰减较快，它们仅在过渡过程的极短时间内产生一定的影响。3.6系统误差分析与计算准确是对控制系统提出的一个重要性能要求对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。自动控制系统通常应是稳定的那么在某一典型外因作用下，系统的运动大致可以分为两个阶
