弹塑性力学习题解综述

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1、弹塑性力学习题解 解题者：尹华杰 第一章 习题解 1.试说明材料力学和弹性力学的异同。 答：相同点：都是研究固体变形体受力后的变形行为；基本假定一 样，研究方法相同。 不同点：弹性力学分为数学弹性力学和应用弹性力学两部分。 数学弹性力学除基本假定外，不附加任何其他假定，所有弹性力学 变量的求解，完全用求解特定边界条件下的弹性力学基本方程的方 法，得到的是在基本假定前提下的准确解；应用弹性力学除基本假 定外，对于数学上不容易求解的问题，附加一些较合理的假定，简 化在数学上存在的求解困难，达到能求解的程度，得到的是近似解 。 材料力学是应用弹性力学的一个分支，它的附加假定是平截面 假定，从而使弹性

2、力学的求解大为简化，但也限定了构件的形状只 能是细长杆件，把空间三维的力学问题简化成了一维问题，使求解 过程大为简化。 第一章 习题解 2.写出弹性力学的六个基本假定，并说明 每个假定对建立弹性力学理论的作用 答：物体是连续的 实际问题是由分子构成的，分子是由原子、原子核、自由电 子构成。在这一尺度量级上，物体是离散的。而当物体的尺寸较 大时，可看成物体的各质点间是连续的。 这一假定说明研究的物体是宏观尺寸的。对微观尺寸不适用 。 这一假定使得从数学上可采用连续性数学描述所研究问题，如采 用微积分等。 物体是完全弹性的 从材料的拉伸曲线，可看出物体的弹性阶段，仅是材料性质 的一部分。而弹性力学

3、仅研究物体的线弹性阶段。非线性弹性阶 段因为很短，其应力与应变关系用线弹性部分替代。 数学上用线性方程近似描述材料的应力应变关系。 第一章 习题解 物体是均匀的 实际物体是多成分构成的，各种成分的性质有差别，在物体的 各成分分布基本均匀，其性质也基本相同时，可近似看成性质均匀 。这样取物体内任一位置的材料研究，不影响整个结果。 对任一微分单元建立的性能参数间的数学关系，适用于整个物 体。 物体是各向同性的 由于实际物体的不均匀性，以金属材料为例，由晶粒组成晶包 ，晶包组成金属，其在各个方向的性质是不相同的。但它们的尺度 很小，又随机排列，宏观表现的性能接近各向同性。 从数学上讲，各向同性的问题

4、在建立数学描述时，坐标系可取 符合构件形状的，易于建立数学方程，而不影响最终结果。 第一章 习题解 位移和形变是微小的 材料性质上保证是弹性的情况下，位移和形变很小。这可从材 料拉伸曲线上看到。 在数学方程建立时，可忽略更高阶的微小变形对力的平衡带来 的影响，即不考虑受力后，位移使力作用点变化，带来的微量功变 化，使数学方程保持线性。 无初应力和初应变 尤其金属材料和塑料等人工加工材料，由于在制成过程中的受 力，会在制成后构件中保留部分残余变形或残余应力。 在弹性力学中计算时，认为残余应力和残余应变等于零。而 残余应力和残余应变的影响，在实际工程计算时，应叠加在弹性力 学的计算结果上。 第二章

5、 习题解 1.说明弹性力学两个平面问题 的异同 。 答：相同点：两者均是数学上的二维问题，两者的独立应 力分量都是xy坐标面内的应力分量，所受边界力均平行于 xy坐标面。所得到的弹性力学方程除弹性常数不同外，形 式上相同。 不同点：平面应力问题的结构为一很薄的平板，边界 力对称分布于平分板厚的中面，应力分量 。 平面应变问题的结构是一很长的直线柱体，边界力垂直于 柱体轴线并沿轴线长度不变化，由于柱体很长可以认为轴 向位移为零，从而轴向应变为零，弹性力学变量有下列关 系： 第二章 习题解 2.试写出弹性力学平面应力问题的平 衡方程、几何方程和物理方程。 解：平衡方程： 几何方程： 物理方程： 第

6、二章 习题解 3.圣维南原理的作用是什么？ 答：作用是对边界固定支承处、集中力或集中 力偶作用处等应力分布不能准确确定的位置， 如果物体内的应力与外力可构成一平衡力系， 这些因素的影响是局部的，在这些位置近处的 应力分布有显著的改变，但远处所受的影响可 忽略不计。 第二章 习题解 4. 为什么弹性力学平面问题按位移求解是 直接解法？而按应力求解应力必须满足相 容方程？ 答：按位移求解法是在特定的边界条件下，求解用位移 表示的平衡方程，再由位移通过几何方程求解应变，求 得应变后，代入物理方程求解应力。这一方法求得的解 满足所有弹性力学方程，求解过程一步一步进行，不受 其他方程的约束，所以为直接解

7、法。而按应力求解，由 于求得应力分量后，由物理方程求解应变，再由应变求 解位移时，应变分量的个数多于位移个数，解不唯一， 要保证位移的唯一性，应力或应变或位移分量间必须满 足保证位移协调的相容方程。 第二章 习题解 5.为什么在推导相容方程时，使用了平衡 方程。在应力求解时的三个方程中，用两 个平衡方程和一个相容方程，这是否矛盾 ？ 答：不矛盾。这是因为在推导相容方程时，为了简化方 程，对平衡方程求导，消去相容方程中的剪应力分量。 通过能满足相容方程的正应力分量，再求解出的剪应力 分量，不一定能满足平衡方程。因为对偏微分方程积分 ，相差一任意函数。 第二章 习题解 6.设有任意形状的等厚度薄板

8、，体力可以不计， 在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压 力q。试证x=y= - q及xy=0能满足平衡微分方 程、相容方程和边界条件，因而是正确的解答 。 证明：由题意可知 X=Y=0 平衡方程 q 第二章 习题解 平衡方程 相容方程 边界条件 满足 满足 q 代入边界条件，可见满足边界条件。 应力解x=y= - q及xy=0，同时满足平衡方程、相容程和边界 条件，因而是任意形状的等厚度薄板的平面问题正确解答。 如图，在任意边界上有： 第三章 习题解 1.设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载P， 体力可以不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力x和 剪应力xy的表达式，并取挤压应力y=0

9、，然后证明，这 些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是 否就表示正确的解答？ 解：根据材料力学的求解方法与本题图可得： y h P x x 第三章 习题解 代入平衡方程得： 满足平衡方程。代入相容方程得： 满足相容方程。 这些表达式不是正确解答。剪应力引起翘曲变形，而在 固定端处的变形与之不对应。在集中力作用处，将产生不 确定的应力集中，不能用材料力学式子描述。 第三章 习题解 2.试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即 其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成 为 试导出相应的相容方程。 证明： 因体力不等于零的情况下的平衡方程的解，可分解为齐次方程 解和特解。而：

10、 是齐次方程解。令： 第三章 习题解 代入平衡方程得： 满足平衡方程，可作为特解。所以应力分量可写成： 第三章 习题解 相容方程 平面应力时： 第三章 习题解 3.试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数 值都等于两个主应力的平均值。 证明： 取主应力1在x方向，2在y方向，任一外法线方向为 N的斜面上的正应力和剪应力为： 当 取最大或最小值时， ，此时： 第四章 习题解 1.试写出用直角坐标系下的应力分量表示极坐标系下应 力分量的表达式。 解： 或： 第四章 习题解 2.试推导出平面应变情况下，仅受内压力作用的轴对称圆 筒的应力分量表达式。 解：平面应力时，仅受内压作用的轴对称圆筒的

11、径向和 周向应力分量表达式为： 因为方程中不包含材料常数，在平面应变情况下，它们 不变。平面应变情况下的轴向应力分量为： 第四章 习题解 第四章 习题解 3.采用叠加法，推导出下面(a)图所示受力情况的平板开小 圆孔的应力分量表达式。 解：(a)图所示受力情况，可以看成（b）图和（c）图所 示受力情况的叠加。而（b）图受力情况下应力分量解 为： （c）图所示受力情况下应力分量解为： （a） （c） （b） 题3图 左右两边受均匀分布 拉力q1，上下两边受均匀分 布拉力q2的开小圆孔平板的 应力叠加示意图 第四章 习题解 两者叠加得： 第四章 习题解 4.求出3题中的拉力q1=2q2时，在孔口平

12、行和垂直两拉力 方向的周向应力值。其中最大的值比q2大了多少倍？ 解：把q1=2q2代入3题的应力表达式可得： 第五章 习题解 1.温度应力的求解采用的是位移法求解。为什 么特解用位移势函数求解，而通解用应力函数 求解，这样可以吗？ 答：这样做可以。因为弹性力学温度应力问题 的齐次方程有唯一解，其解与求解方法无关， 不论采用哪种求解方法，只要其能满足方程和 边界条件，都是方程的解。 第六章 习题解 1.空间问题求解主应力和主方向的方法与平面问题求解主 应力和主方向的方法一样吗？请给出说明。 答：一样。两者都是假定把斜面的外法线方向取为应力 主方向，然后求解方向余弦的系数矩阵的行列式，解出 主应

13、力。求解应力主方向都是求解方向余弦的比值，然 后根据方向余弦的平方和等于1，求解出各个方向余弦。 2.应力张量不变量的“不变”的含义是什么？ 答：应力张量不变量的“不变”的含义是，它们不随坐 标系变化，在各种坐标系中其数值都是同样的。 3.八面体应力中的“八面体”有什么特点？八面体剪应力与八 面体剪应变间存在什么关系？ 答：这里说的“八面体”是其方向余弦的平方均是1/3的 斜面，在直角坐标系的八个象限中组成的八面体。 八面体剪应力和八面体剪应变间的关系为： 第八章 习题解 1.从金属材料的拉伸曲线能看到材料的弹性和塑性有哪 些区别？ 答：金属材料的拉伸曲线在弹性范围时，应力和应变保 持一一对应

14、关系，在外载荷卸除后，结构的形状能够完 全恢复原状。 在塑性范围内，在外载荷卸除后，结构的形状不能 够完全恢复原状，存在永久变形，应力和应变存在多值 性关系，与加载历史有关。相继弹性范围随着新的塑性 出现，只增不减。在相继弹性范围内，应力和应变保持 增量线性关系。 第八章 习题解 2.为什么材料进入塑性状态后，瞬时应力和瞬时应变就不 存在单值对应关系？ 答：这是因为材料进入塑性状态后，如果出现卸载，卸 载时的应力和应变关系进入相继弹性范围内，应力和应 变曲线以近于平行初始弹性曲线线性部分，从卸载点下 降。如果卸载后再加截，又有新的塑性出现，再卸载时 的相继弹性范围又有了新的变化，在应力和应变图

15、上表 现出瞬时应力和瞬时应变存在多值关系。如果跟踪加载 历史，仍能找出对应的应力和应变关系。 第八章 习题解 3.塑性力学关于材料有哪些基本假设？ 答：一、假定材料没有粘性效应；二、假定材料无限韧 性；三、假定材料的弹性与塑性互不相关，各自独立； 四、假定材料是稳定的。 4.强化规律是什么规律？ 答：强化规律是相继屈服面的变化规律。 第八章 习题解 5.什么是等向强化？什么是随动强化？这两种强化模型中 记录史参数有什么基本不同点？ 答：等向强化：材料如果在一个方向得到强化，则在各 个方向都有同等的强化。 随动强化：材料若在一个方向强化了，则在相反方 向将同等的弱化。 在一维情况下：等向强化模型

16、中记录史参数为 ，是一单增不减的正数。随动强化模型中记录史参数为 为弹性范围的中心，在应力和应变坐 标系中，由 式描述的直线是随动强化模型中心 的轨迹。 第八章 习题解 6.什么是材料的时间效应？在通常塑性力学中不计金属材 料的时间效应，这意味着什么？ 答：材料的时间效应或粘性效应表现在两个方面：一个 是高速率加载时，材料的应力和应变曲线与静态下的应 力和应变曲线存在明显的差别，即应力和应变关系与应 变率有关；另一方面是金属材料在高温恒应力下，低速 率的蠕变，或者恒应变下应力值随时间的减小。相对静 态常温下的应力和应变曲线，这两种情况的应力和应变 曲线均与时间有关。通常在塑性力学中不计金属材料的 时间效应，实际上是限于研究常温静载下金属的塑性。 第九章 习题解 1.什么叫初始屈服曲面？什么叫相继 屈服曲面？屈服函数与哪些因素有关 ？ 答：材料从无初应力和无初应变的原 始状态加载，第一次达到屈服状态时 ，描述屈服状态的函数描绘的几何曲 面，叫初始屈服曲面。