力学作业题综述

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1、力 学 主讲人：物理系 1-5 已知质点沿 轴作直线运动，其运动方程 求：（1）质点在运动开始后 内的位移的大小； （2）质点在该时间内所通过的路程； （3） 时质点的速度和加速度。 （2）由 得知质点的换向时刻为 （ 不合题意） 解：（1）质点在 内的位移的大小 所以，质点在 时间间隔内的路程为 （3） 时 1-10 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石 子并非作自由落体运动动，现测现测 得其加速度为为 、 正恒量，求石子下落的速度和运动动方程。 解：选选取石子下落方向为为 轴轴正方向，下落起点为为 坐标标原点。 （1）由题题意知 分离变变量后 两边积边积 分并考虑虑初始条件，有 得石子

2、的速度为为 （2）再由 考虑虑初始条件有 得石子运动动方程 解：（1）由参数方程 1-12 质点在 平面内运动，其运动方程为 求：（1）质点的轨迹方程； （2）在 到 时间内的平均速度； （3） 时的速度及切向和法向加速度； （4） 时质点所在处轨道的曲率半径 。 消去 得到质点的轨迹方程为 （2）在 到 时间内的平均速度 （3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为 则 （4） 时质点的速度大小为 则轨道的曲率半径 解：（1）质点作圆周运动的速率为 切向加速度为为 法向加速度为为 总总加速度大小 1-16 一质点沿半径为 的圆周按规律 运动， 、 都是常数，求： （1） 时刻质点的总加速度； （

3、2） 为何值时总加速度在数值上等于 ？ （3）当加速度达到 时，质点已沿圆周运行了多少 圈。 加速度方向与切线方向的夹角为 （3）当加速度到达b时，将 代入 质质点转转的圈数 要使总加速度在数值上等于 ，则 解：（1） O 1-18 如图质点在半径 的圆周运动，其角位 置为 ，求(1) 时的 和 ; （2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半 时， 值为多少？ （3） 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？ （2）由题意 （3）由题意 1-20 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率 为 ，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前 角 ，速率为 。若车后有一长方形物体，问车速 为多 大时

4、，此物体正好不会被雨水淋湿？ 解： 由 ，如图所示，其中 为雨点相对 于汽车的速度， 为雨滴相对于地面的速度，有 要使 ，则 又物体在斜面上作匀变速直 线运动，故有 2-6 图示一斜面，倾角为 ，底边 长为 ， 质量为 的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动， 斜面的摩擦因数为 。试问，当 为何值时， 物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？ 解：取沿斜面为坐标轴 ，原点 位于斜面顶点 ，则由牛顿第二定律有 则可得 此时 为使下滑的时间最短，可令 ，有 2-13 一质量为 的质点在力 的作用下沿 轴作 直线运动，已知 。在 时，质点位 于 处，其速度 。求质点在任意 时刻的速度和位置。 解：加速

5、度为 ，根据牛顿运动定律有 解：（1）运动员入水前可视为自由落体运动，故入 水时的速度为 运动员入水后，由牛顿定律得 2-15 质量为 的跳水运动员，从高台上由静止跳下落 入水中。高台距水面为 。设跳水运动员为质点，并 略去空气阻力。运动员入水后竖直下沉，水对其阻力 为 ，其中 为一常量。若以水面上一点为坐标原 点 ，竖直向下为 轴，求：（1）运动员在水中的 速率 与 的函数关系；（2）若 ，跳 水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率减少到落 水速率的1/10 ？（假定跳水运动员在水中的浮力与所 受的重力大小恰好相等。） 重力浮力阻力 由题意 初始条件： （2）将已知条件 和 代入上 式，得

6、2-17 光滑的水平面上放置一半径为 的固定圆环， 物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦因数为 ， 开始时物体的速率为 ，求：（1） 时刻物体的速 率；（2）当物体的速率从 减少到 时，物 体所经历的时间及经过的路程。 解：（1）设物体质量为 ，取如图所示的自然坐标 系，由牛顿定律有 其中，摩擦力 初始条件： （2）当物体的速率从 减少到 时 物体在这段时间内所经过的路程 2-19 质量为 的摩托车，在恒定的牵引力 的作用 下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它 能达到的最大速率是 。试计算摩托车从静止加速 到 所需的时间以及所走过的路程。 解：设摩托车沿 轴 正方向运动，在牵引力和阻力

7、同时作用下，由牛顿定律有 当加速度 时，摩托车的速率最大，因此可得 分离变量并积分有 又 解：（1）由冲量的定义式有 3-8 的合外力作用在质量 的物 体上，试求：（1）在开始 内此力的冲量；（2） 若冲量 ，此力作用的时间；（3）若物体 的初速度 ，方向与 相同， 时 ，此物体的速度 。 （2） （另一个解不合题意舍去） （3）由动量定理，有 从而可得水流对管壁作用力的大小为 作用力的方向沿直角平分线指向弯管外侧。 3-12 如图所示，在水平地面上，有一横截面 的直角弯管，管中有流速为 的水通过，求弯 管所受力的大小和方向。 解：在 时间内，从管一端流入（或流出）的水的质 量为 ，弯曲部分

8、的水的动量的增量为 根据动量定理 ，得到管壁对 这部分水的平均冲力 3-14：质量为 的人手里拿着一个质量为 的物体， 此人用与水平方向成 角的速率 向前跳去。当他 达到最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速 率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增 加了多少？（假设人可视为质点） 解：取如图所示坐标，取人、 物体组成的系统，因为该系统 在水平方向上合外力为零，所 以在水平方向上系统的动量守 恒，设在最高点处，人抛球后 相对地的速度为 ，在最高点 抛球后球相对地速度为 ，有 标量式为 人从最高点到地面的运动时间为 、 分别为抛球前后从最高点算起的跳跃的水平距离 强调： ， 。因为 是与

9、 同 时产生的，而人速度为 时， 还没产生 3-16 一人从十米深的井中提水，起始桶中装有10.0kg 的 水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水，水 桶被匀速的从井中提到井口，求人所作的功。 P F y 解: 水桶匀速上提, 加速度 。 重力随位置的变化关系 已知 解：（1）摩擦力所做的功为 3-18 一质量为 的质点拴在细绳的一端，绳的另一 端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为 的圆周 运动。设质点初速率是 ，当它运动一周时，其速 率变为 ，求：（1）摩擦力所作的功；（2）滑 动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？ （2）由于摩擦力 ，且其方向与运动方向相 反，则

10、 可得滑动摩擦因数为 （3）由于一周中损失的动能为 ，则在静止前可 运行的圈数为 圈 解：（1）卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周 运动的向心力，由牛顿定律，有 3-22 一质量为 的地球卫星，沿半径为 的圆轨道 运动， 为地球的半径。已知地球的质量为 。求： （1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星 的机械能。 （2）取卫星与地球相距无限远时的势能为零，则处 在轨道上的卫星所具有的势能为 （3）卫星的机械能为 又由机械能守恒定律，有 解得 3-25 如图所示，质量为 、速度为 的钢球，射向 质量为 的靶，靶中心有一个小孔，内有劲度系数 为 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水

11、平面 上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最 大压缩距离。 解：设弹簧的最大压缩量为 ，小球与靶共同运动的 速度为 ，由动量守恒定律，有 而对重物而言，由牛顿定律，有 4-9 半径为 的飞轮可绕通过飞轮中心 且垂直轮 面的水平轴转动，在绕过飞轮的绳子的一端挂一质 量为 的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞 轮转动，如图所示。在重物下落过程中，飞轮轴承 间的摩擦不计，绳子的质量不计且绳子不可伸长。 设重物下落距离 时所用的时间为 ，请计算飞轮 的转动惯量 。 解：设绳子的拉力为 ，对飞轮而 言，根据转动定律，有 由于绳子不可伸长，因此有 重物作匀加速下落，则有 由上述各式可解得飞轮的转

12、动惯量为 4-11 质量为 和 的两物体 、 分别悬挂在如图所示 的组合轮两端。设两轮的半径分别为 和 ，两轮的 转动惯量分别为 和 ，轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计. 试求两物体 的加速度和绳的张力. 解：分别对两物体 及组合轮作受力分 析，如图所示。根 据质点牛顿定律和 刚体的转动定律， 有 由角加速度和线加速度之间的关系有 解上述方程组，可得 4-14 如图，一通风机的转动部分以初角速度 绕其轴 转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数 为 一常量。转动部分对其轴的转动惯量为 ，问：（1） 经过多长时间后其转动角速度减少为初角速度的一半 ？（2）在此时间

13、内共转过多少转？ 解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为 ，由 转动定律 ，可得叶片的角加速度为 根据初始条件对上式积分，得 在时间 内所转过的圈数为 当角速度由 变为 时，转动所需的时间为 （2）由于 ，根据初始条件积分，有 解：根据角动量守恒定律 4-17 在光滑的水平面上有一个木杆，其质量 长 ，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动 。一质量为 的子弹，以 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交，若子弹陷 入杆中，求所得到的角速度。 子弹绕 轴的转 动惯量 子弹绕 轴的角 速度 杆绕轴的转 动惯量 可得杆的角速度： 4-21 如图所示，长为 、质量为 的均质杆，可绕 点 在竖直平面内转动，令杆至水平

14、位置由静止摆下 ，在竖直位置与质量为 的物体发生完全非弹性碰 撞，碰撞后物体沿摩擦因数为 的水平面滑动，试求 此物体滑过的距离 。 解：由已知，在转动过程中有 在碰撞过程中有 在滑动过程中有 得物体滑过的距离为 解：由于卫星在近地点和远地点处的速度方向与椭圆 径矢垂直，因此，由角动量守恒定律有 4-25 我国1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星 ，其近地点为 ，远地点为 。 试计算卫星在近地点和远地点的速率。（设地球的半 径为 ） 又因卫星与地球系统的机械能守恒，故有 卫星 质量 地球 质量 卫星在 近地点 卫星在 远地点 在地球表面有 4-26 质量为 的子弹 ，穿过如图所示的摆锤 后 ，速率由 减少到 。已知摆锤的质量为 ，由 质量为 的均匀细棒连接，棒长 ，如果摆锤能在 垂直平面内完成一次完全的圆周运动，子弹的速度 最小值应为多少？（已知均匀细棒对过 点且垂直平 面的转轴的转动惯量为 ） 解：取子弹与摆为系统，根据系统的角 动量守恒，有 子弹对过O点的转