电路基础第3章综述

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1、第3章 动态电路 3.1 动态元件 3.2 动态电路的方程及其解 3.3 电路的初始值 3.4 动态电路的响应 3.5 一阶电路的三要素公式 3.6 阶跃函数和阶跃响应 3.7 二阶电路分析 3.8 正弦激励下一阶电路的响应 第三章 动态电路 返回主目录 第3章 动态电路 第3章 动态电路 3.1动态元件 一、 电容 电容元件是储存电能的元件， 它是实际电容器的理想化 模型。 电容元件可定义为： 一个二端元件， 如果在任意时刻 ， 其端电压u与其储存的电荷q之间的关系能用uq平面(或 qu平面)上的一条曲线所确定，就称其为电容元件，简称为 电容。 第3章 动态电路 电容元件分为时变的和时不变的

2、，线性的和非线性的， 本书主要涉及线性时不变电容元件。 线性时不变电容元件的外特性(库伏特性)是qu平面上一 条通过原点的直线，如图 3.1 - 1(b)所示。 在电容元件上电压 与电荷的参考极性一致的条件下，在任一时刻，电荷量与其 端电压的关系为 q(t)=Cu(t)t (3.1 - 1) 式中C称为元件的电容，单位为法(F)。 对于线性时不变 电容元件， C是正实常数。“电容”一词及其符号C既表示电容 元件也表示元件的参数。 第3章 动态电路 第3章 动态电路 电路理论关心的是元件端电压与电流的关系。 如果电容 端电压u与其引线上的电流i参考方向一致(见图3.1 - 1(a)， 则 由i=

3、 ， 有 上式常称为电容元件的伏安关系(微分关系)。它表明，任 何时刻， 电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。如 果电压不随时间变化， 则i=0，电容相当于开路。 故电容有隔 断直流的作用。 将式(3.1 - 2)写为 第3章 动态电路 对上式从-到t进行积分(为避免积分上限t与积分变量t相 混，将积分变量换为)，得 第3章 动态电路 上式也称为电容元件的伏安关系(积分关系)。 它表明，在 任一时刻t，电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果，它“记 载”了已往的全部历史，所以称电容为记忆元件。相应地， 电 阻为无记忆元件。 如果只讨论tt 0的情况， 式(3.1 - 3)可进一步写为 式

4、中 第3章 动态电路 称为电容电压在t=t0时刻的初始值， 或初始状态。 为了 简便， 常取t0 =0。通常我们研究问题总有一个初始时刻t0 ， 式(3.1 - 4)表明，如果研究t t0的电容电压u(t)， 那么不必去了 解tt0产生的效 果可以由uC(t0)，即电容的初始电压来反映，也就是说，如果 已知由初始时刻t0开始作用的电流i(t)以及电容的初始电压 uC(t0)， 就能完全确定t t0时的电容电压u(t)。 电容电压u(t)除有上述的记忆性质外， 还有连续性质。 为了仔细地研究连续性质， 对于任意给定的时刻t0 ，将其前 一瞬间记为t0-，而后一瞬间记为t0+ ，更准确的说，令 第

5、3章 动态电路 t 0-= (t 0 -) T0+= (0) 它们分别是t 0的左极限和右极限。 由式(3.1 - 4)可得在t= t0+ 时的电容电压 如果电容电流i(t)在无穷小区间 t 0- ， t 0+ 为有限值， 或者说在t= t 0处为有限值，则上式等号右端第二项积分为零 ， 从而有 uC(t 0+ )=uC (t 0-) 第3章 动态电路 这表明，若电容电流i(t)在t=t 0处为有限值，则电容电压 uC(t)在该处是连续的，它不能跃变。 现在讨论电容的功率和能量。 由式(1.2 - 4)， 在电压、 电流参考方向一致的条件下， 在任一时刻， 电容元件吸收的 功率 p(t)=u(

6、t)i(t)=Cu(t) 由式(1.2 - 6)， 从-到t时间内，电容元件吸收的能量 第3章 动态电路 若设u(-)=0， 则电容吸收能量 wC(t)= 由式(3.1 -8)和(3.1 -9)可见，当|u|增大时即当u0，且 0；或u0，电容吸收功率为正 值， 电容元件充电， 储能wC增加，电容吸收的能量以电场能 量的形式储存于元件的电场中； 当|u|减少时即u0， 且 0; 或者u0， 因 而p0， 电容吸收功率，其储能逐渐增高，这是电容元件充电 的过程。 在区间10， 即其实际方向也是a端为“+”， b端为“-”。可见 二者是完全一致的。对于i0，(di/dt)0以及i t0的电感电流i

7、(t)，利用i iL(t0) 对t0， 且 didt 0，或者i0， 将完全响应区分为暂 态响应和稳态响应将没有实际意义，或者说电路不存在稳态 响应。譬如，若图3.2 - 3中的电阻R为负值(负电阻)， 则其完 全响应为 这时它可分为固有响应和强迫响应。显然，由于uC随时 间的增长而无限增大， 因而不存在稳态响应。 固有响应 强迫响应 第3章 动态电路 3.3 电路的初始值 所描述的线性时不变动态电路的方程是常系数线性微分 方程，在求解常微分方程时，需要根据给定的初始条件确 定解答中的待定常数。如果描述电路动态过程的微分方程 是n阶的，就需要n个初始条件，它们是所求变量(电压或电 流)及其1，

8、 2， ， (n-1)阶导数在t=0+时的值(设换路时刻 t=t0=0)， 也称为初始值。其中电容电压和电感电流的初始 值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立的初始值或初 始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的初始值称 为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以及独 立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。 第3章 动态电路 一、 独立初始值 如前所述， 电容电压和电感电流反映了电路储能的状况 ， 它们都具有连续的性质。设换路时刻为t=0， 那么由式(3.1 -7)和(3.1 -14)知，若电容电流iC和电感电压uL 在t=0时为有限 值，则

9、换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL;是连续的，即 有 uC(0+)= uC(0-) iL(0+)= iL (0-) 因而可根据换路前电路的具体情况确定独立初始值uC (0+)和iL (0+)。 式(3.3 - 1)常称为换路定律。 换路定律可以从能量的角度来理解。 我们知道， 电容和 电感的储能分别为 第3章 动态电路 果uC 或iL 发生跃变， 那么WC 或WL也发生跃变。 由 于功率p= ， 因此能量的跃变意味着瞬时功率为无限大 ， 这在实际电路中通常是不可能的。不过在某些理想情况下 ， 电容电流iC 和电感电压uL 在某瞬时可能趋于无限，在这种 情况下， 电容电压uc 和电感电流iL

10、 可能跃变(请参看下面将要 介绍的例3.3 - 3)。 需要强调指出， 在接入激励或换路的瞬间， 除了电容电 压uc 和电感电流iL 外，其余各变量(如ic，uL ， iR， uR等)都不 受换路定律的约束。 如果换路时刻为t=t0， 则换路定律可写为 第3章 动态电路 uC (t 0+)= uC(t 0-) iL(t 0+)= iL (t 0- ) 顺便提及， 对于非线性电路或时变电路， 电容电荷和 电感磁链分别是uC (t)和iL (t)的函数， 即q(t)=f uC(t)， (t)=fiL(t)。上述换路定律可表述为： 若ic和ul在t=t0处 为有限值， 则电容电荷和电感磁链在t= t

11、0处是连续的，它 们不能发生跃变， 即 q(t0+ )=q(t0-) (t0+ )=(t0-) 第3章 动态电路 二、 非独立初始值 除uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各电流、 电压的初始值(即非独 立初始值)可根据激励和已求得的独立初始值用以下方法求得 。我们将给定的t0的电路中除全部激励源和所有储能元件以 外的部分电路称为NR，各激励源和储能元件都接于NR 的外 部端口，如图3.3 - 1(a)所示。 显然， NR 中通常只有线性电阻 ， 有时还有受控源。 由于我们欲求的各电流、 电压的初始值是在t=0 +时刻 的值， 而在t=0+时刻，各激励源均为常数，如us(0 +)、is (

12、0 +)等；在此时刻(t=0+)各电容电压和电感电流也是常数 。 第3章 动态电路 第3章 动态电路 它们就是上面求得的uC(t0+ ) 、 iL(t0+ )等， 根据替代(置换) 定理， 电容支路可用电压源uC(t0+ )替代，电感支路可用电流源 iL(t0+ )替代，于是得到如图3.3 - 1(b)的初始值(t=0+时)等效电路 。 显然， 初始值等效电路是线性电阻电路，并且各电源均为 常数，因而可用求解电阻电路的各种方法求解。 如初始时刻 为t= t0 ， 其求法类似。 例 3.3 -1如图3.3 -2(a)的电路，在t0时， 由式(3.5 -5)有 A= 式中y()为稳态(直流稳态)值

13、。于是由式(3.5 -5)可得激励 为直流且0时一阶电路的响应 第3章 动态电路 这时电路的强迫响应是常数， 它就是稳态响应； 固有响 应就是暂态响应， 它随着t的增大按指数衰减到零。图3.5 - 2(a)画出了0时，y(0+)y()和y(0+)0时，(t)=1， 故其特解为常数1， 所以iL的完全解 ， 即阶跃响应为 giL(t)=iL(t)=1+K1 e -t +K2t e -t (3.7 -17) 电容电压uC的阶跃响应 g uC(t)=uC(t)=uL(t)=L =L(K2-K1) e -t -LK2te-t 将零初 始状态代入，得 iL(0)=1+ K1 =0 uC(0)=L(K2

14、- K1)=0 由上式可解得 第3章 动态电路 K1=-1K2=-将它们代入式(3.7 -17)和(3.7 -18)， 得以iL和 uC为输出的阶跃响应分别为 g iL (t)= iL (t)=1-(1+t) e -t =1-(1+2t) e -2t guC(t)=uC(t)=2Lte-t= t e-2t=2te-2t t0 t0 在上 式推导中， 使用了2=20= 的条件。 实际上， 以上结果 可根据对偶原理，由rLC串联电路的结果得到。 在表3 -4的临 界阻尼一栏中，将uC 换为iL， iL 换为uC ， L换为C就可得到以 上结果。 图3.7 -6(b)中给出了iL 和uC 的阶跃响应

15、的波形。 第3章 动态电路 3.8 正弦激励下一阶电路的响应 例 3.8 -1如图3.8 -1(a)的一阶电路，已知R=1，L=2H， 电感电流的初始值iL (0+)=3A，激励的正弦电压uS(t)=Umcos t V，其中Um=10 V，=2 rad/s，求电感电流iL 的全响应。 解 图3.8 -1(a)的电路， 按KVL可列出其微分方程为 或写为 上式与式(3.5 -1)相同。 由式(3.5 -4)知， 该电路的全响应为 第3章 动态电路 第3章 动态电路 iL(t)=iLp(t)+iL(0+)- iLP(0+)e t0 (3.8 -3) 式中，电感电流iL(0+)=3A，=L/R=2s，只有电感电流的特解 iLp 尚未求得。 设电感电流的特解 iLp (t)=Imcos(t+) (3.8 -4) 式中，Im和为待定常数，将iLP (t)及其导数代入式(3.8 -1) ， 得 -L Im sin(t+)+R Im cos(t+)=Umcos t 将上式展开并稍加整理， 得 第3