经典计量经济学模型解析

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1、*1*1 经典计量经济学模型 . *2*2 第一节 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF） *3*3 回归分析概述 （1）确定性关系或函数关系：研究的是 确定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非 确定现象随机变量间的关系。 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类 ： *4*4 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根 据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体 均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关 的被解释变量所有可能出现的对应

2、值的平均值。 例1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究 该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X 的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社 区家庭的平均月消费支出水平。 二、总体回归函数 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差 不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。 *5*5 *6*6 （1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家 庭的消费支出不完全相同； （2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的 分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（ Conditional distribution）是已知的，如： P(Y=561|X=8

3、00）=1/4。 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值（conditional mean）或条件期望（ conditional expectation）： E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=605 分析： *7 . . *7 收入 水平 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 条件 概率 1/4 1/6 1/11 1/13 1/13 1/14 1/13 1/10 1/9 1/6 条件 均值 605825 1045 1265 1485 1705 1925 2145 2365 2585 *8*8 描出散点

4、图发现：随着收入的增加，消费“平 均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正 斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 5001000150020002500300035004000 每月可支配收入X（元） 每 月 消 费 支 出 Y （元） *9*9 概念： 在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望 轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（ population regression curve）。 称为（双变量）总体回归函数（population re

5、gression function, PRF）。 相应的函数： *10*10 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 含义： 函数形式： 可以是线性或非线性的。 例中，将居民消费支出看成是其可支配收入的 线性函数时: 为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为 回归系数（regression coefficients）。 *11*11 三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。 称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（ deviat

6、ion），是一个不可观测的随机变量，又称 为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机 误差项（stochastic error）。 记 *12*12 例中，个别家庭的消费支出为： （*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设 定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影 响外，还受其他因素的随机性影响。 （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和 : (

7、*) 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型 ，因此也称为总体回归模型。 *13*13 随机误差项主要包括下列因素的影响： 1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定误差的影响； 4）其它随机因素的影响。 产生并设计随机误差项的主要原因： 1）理论的含糊性； 2）数据的欠缺； 3）节省原则。 *14*14 四、样本回归函数（SRF） 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗 ？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？ 回答：能 例2在例1的总体中有如下一个样本， 总体的信息往往无法掌握，现实的情况

8、只能是在 一次观测中得到总体的一个样本。 *15*15 该样本的散点图（scatter diagram)： 样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该 散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线 。该线称为样本回归线（sample regression lines）。 记样本回归线的函数形式为： 称为样本回归函数（sample regression function，SRF） 。 *16*16 这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代 则 注意： *17*17 样本回归函数的随机形式/样本回归模型： 同样地，样本回归函数也有如下的随机形式 ： 由于方程中引入了随机项，成为计

9、量经济模型，因此 也称为样本回归模型（sample regression model）。 *18*18 回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计 总体回归函数PRF。 注意：这里PRF可能永 远无法知道。 即，根据 估计 *19*19 第二节 一元线性回归模型的参数估计 一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计 *20*20 单方程计量经济学模型分为两大类： 线性模型和非线性模型 线性模型中，变量之间的关系呈线性关系 非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系 一元线性回归模型：只有一

10、个解释变量 i=1,2,n Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项 *21*21 回归分析的主要目的是要通过样本回归函 数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函 数（模型）PRF。 估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通 最小二乘法（ordinary least squares, OLS ）。 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对 模型提出若干基本假设。 注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密 相关。 *22*22 一、线性回归模型的基本假设 假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相 关性： E(i)=0 i=

11、1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n *23*23 1、如果假设1、2满足，则假设3也满足; 2、如果假设4满足，则假设2也满足。 以上假设也称为线性回归模型的经典假设 或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归 模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。 *24*24 另

12、外，在进行模型回归时，还有两个暗含的 假设： 假设5：随着样本容量的无限增加，解释变 量X的样本方差趋于一有限常数。即 假设6：回归模型是正确设定的 假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变 量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变 得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spurious regression problem）。 假设6也被称为模型没有设定偏误（specification error） *25*25 案例分析 某地个人储蓄Y，个人可支配收入X。 根据经济理论建立计量经济模型 *26*26 图形检验 *27*27 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 给定一组样

13、本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n ）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的 平方和 最小。 *28 *29 求平方和的极值 *30*30 方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。 *31 可以写成 . *31 *32*32 例2：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所 抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表 2.2.1进行。 *33*33 因此，由该样本估计的回归方程为： *34 几个常用的结果 . *34 *35 . . . . 35 (1)、估计

14、残差均值为零 * *36 . . *36 . . 36 (2)、估计残差与自变量不相关 （Residuals are unrelated with independent variable） * *37 . . 37 (3)、Y的真实值和拟合值有共同的均值 * *38*38 记 上述参数估计量可以写成： 称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的 ，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。 *39*39 顺便指出 ，记 则有 可得 （*）式也称为样本回归函数的离差形式。 （* ）

15、 注意： 在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值 的离差。 *40*40 三、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的 精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需 考察参数估计量的统计性质。 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方 面考察其优劣性： （1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 函数； （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总 体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量 中具有最小方差。 *41*41 （4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它的均值序列趋于总体真值； （5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否 依概率收敛于总体的

16、真值； （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的 大样本或渐近性质： *42*42 高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估 计量是具有最小方差的线性无偏估计量。 *43*43 证 ： 易知 故 同样地，容易得出 *44*44 *45*4545 （2）证明最小方差性 *46*4646 *47*47 由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所 应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。 *48 总体 *48 在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望 轨迹称为总体回归线（population regressi