概率论 第三章 随机变量的数字特征综述

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1、第三章 随机变量（向量）的数字特征 概率论 3.1 随机变量的数学期望 3.2 随机变量的方差 3.3 协方差与相关系数 为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道 其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量 取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布 或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需 要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些 特征就够了。例如，为了解一个国家或地区人们的生活水 平，我们并不需要知道该国家或地区每人的消费标准，而 只需要知道每人每年的平均消费量以及每人每年消费量与 平均消费的偏离程度。又如评价一批灯泡的质量，人们关 心的是该批灯泡

2、的平均寿命以及灯泡寿命与平均寿命的偏 离程度，平均寿命长，灯泡之间寿命差异小，该批灯泡质 量就好。了解某个班某门课程的学习成绩，既关心该班的 平均成绩，也关心成绩之间的分散程度。在概率论中 ，把描述随机变量某些特征的数叫做随机变量的数字特征 。数学期望（或均值）与方差是随机变量最重要的两个数 字特征。 本章介绍数学期望、方差、相关系数等概念。 3.1 随机变量的数学期望 Mathematical Expectation 以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学该门课程成 绩的平均状态。 引例: 设7位同学某门课程的成绩为:90,85,85,80,80,75,60,则 他们该门课程的平均成绩为

3、 一般的，设变量 有 个取值,其中不同的取值有 个不妨设前 个取值互不相同,且取不同值的频数为 ,则n个值的平均值为 上式表示:随机变量的平均值等于其所有可能取值与取相应 值的概率乘积之和.把上式推广得到随机变量的数学期望的 概念. 一、数学期望的定义 1. 离散型随机变量的数学期望 Def 设离散型随机变量的概率分布为 例3.1已知随机变量X的分布律为 456 1/41/21/4 求数学期望 解：由数学期望的定义 u连续型随机变量的数学期望 Def 设连续型随机变量的概率密度为 ，若广义积分 例 3.2 设随机变量 的概率密度函数为 求 的数学期望。 解： 二 、几个常见的随机变量的数学期望

4、 1. 等概分布 由数学期望的定义 2.两点分布 由数学期望的定义 01 3. 二项分布 若随机变量 ，其概率函数为 该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定 义证明，也可以按照数学期望的性质证明（见后）。 4. 泊松分布 已知随机变量 5. 超几何分布 若随机变量 6. 均匀分布 若随机变量 7. 指数分布 若随机变量 8.正态分布 三、二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望 1.(X,Y)为二维离散型随机变量 2.(X,Y)为二维连续型随机变量 例3.3 设(X,Y)的联合密度为 1 1 3 解： 四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设 是随机变量 X的函数，

5、 （1 1）离散型）离散型 （2 2）连续型）连续型 该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函 数的期望带来很大方便. 例3.4 解：因为 2. 二元随机变量函数的情况 （1 1）离散型）离散型 （2 2）连续型）连续型 例3.5 例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为 五、随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. 4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)； 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,

6、Y 独立 证明：这里只证明性质3,4 利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。 5.若随机变量 的取值非负,且 存在,则 推论: 6. 设 的数学期望存在,则有 证明: 对于任意的实数,由于 这个不等式称作Cauchy-Schwarz不等式. 例3.7 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的数学期望。 XB(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 解： 例3.8 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和 p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0,1,2 解 : 所以，产生故障的仪器数目的数学期望

7、 六、条件数学期望 1.离散型随机变量的条件数学期望 Def 设离散型随机变量 在 的条件下概率函数为 下的条件数学期望，简称条件期望，记作 ，即 类似的，随机变量 在 的条件下的条件期望为 2.连续型随机变量的条件数学期望 Def 设连续型随机变量 在 的条件下的条件概率密度函 数为 ，又 类似的，随机变量 在 的条件下的条件数学期望为。 无论是离散型随机变量还是连续型随机变量， 在 给定 条 件下的数学期望为 的函数，记作 . 在给定 条件下 的 数学期望为 的函数,记作 . 3.条件数学期望的性质 条件数学期望具有与数学期望类似的性质 下面以连续性随机变量为例,只对性质4给出证明,其余性

8、 质的证明与之类似. 七、中位数 Def 直观上，随机变量 的中位数 表明了： 的取值比 小 以及比 大的可能性相等这个含义下的平均值。 数学期望在医学上的一个应用 An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？

9、分析：设随机抽取的10人一组所需的化验次数为X 需要计算X的数学期望，然后与10比较 化验次数X的可能取值为1，11 先求出化验次数X的分布律 X=1=“10人都是阴性” X=11=“至少1人阳性” 结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。 注意求 X期 望值的步骤 ！ 问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？ 2.概率p对每组人数n的影响? 作业： 习题三：2，3，4，8，9 3.2 随机变量的方差(Variance) 一、随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 3. 方差的计算公式 与 有相同的量纲 2. 均方差（标准差） 1、定义 (1) (

10、1) 离散型离散型 设离散型随机变量X的概率分布为 (2) (2) 连续型连续型 设连续型随机变量X的分布密度为 f (x) 4 方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的平均分散程度。 例3.9已知随机变量X的分布律为 01 求方差 解： 二 、几个常见的随机变量的方差 1. 等概分布 由数学期望的定义 2.两点分布 由数学期望的定义 01 3. 二项分布 若随机变量 ，其概率函数为 该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定义证明，也可以 按照数学期望的性质证明（见后）。 4. 泊松分布 5. 超几何分布 若随机变量 6. 均匀分布 若随机变量 7. 指数分布 若随机变量

11、 8.正态分布 三、方差的性质 1. 设C是常数，则D(C)=0； 2. 若a，b是常数，则 3. 相互独立时 当随机变量 证明: 例3.10 解： 例3.11 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的方差。 XB(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 解： 4. 四、条件方差 1. 离散型随机变量的条件方差 Def 设离散型随机变量 在 的条件下的条件数学期望 类似的，随机变量 在 的条件下条件方差为 2. 连续型随机变量的条件方差 Def 设连续 型随机变量 在 条件下的条件概率密度函数为 在 ，又 无论是离散型随机变量还是连续型随机变量， 在 给定条件下的条件方差为的

12、函数记作 . 在 给定条 件下的条件方差为 的函数，记作 . 类似的，随机变量 在 下的条件下的条件方差为 3.条件方差的性质 条件方差具有与方差类似的性质(略). 例 求二维正态分布 的条件数学期望 和 条件方差 . 解: 由随机变量的条件分布知, 条件下的分布为正态分布. 五、随机变量的标准化 设 是随机变量, 存在,且 ,则称 为随机变量 的标准化随机变量. 易证: 例如:若 ,则标准化随机变量 六、随机变量的矩 存在， 存在， Def 设X是随机变量，若 则称其为X的k阶原点矩， 若 则称其为X的k阶 中心矩， 显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差 作业： 习题三：12

13、 ，17 ，22 3.3 协方差与相关系数 设 为二维随机向量,其中 为随机变量,假如 相互独立,则只需要研究 各自的统计规律,如:数学期望 、方差等，但实际中 往往不独立，这就要研究表征它 们之间相互联系的数字特征，协方差与相关系数是常用的 描述两个随机向量之间联系的数字特征。 Covariance and Correlation coefficient 1. 1. 定义定义 一、协方差协方差 Def 2. 计算 (1)(1)离散型离散型 (2)(2)连续型连续型 例3.12 0123 103/83/803/4 31/8001/81/4 1/83/83/81/8 解：边际分布如表 例3.13 解：边际概率密度为 3 . 性 质 例3.14 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，即概率密度为 解：X、Y 的边缘密度分别为 图2.15 例3.15 1.1.定义定义 Def 二二. .相关系数相关系数 按照该定义，二维正态分布的第五个参数就是相关系数。 2.2. 性质性质 Def 例3.16 例3.17 -101 1/31/31/3 解： 01 -11/30 001/3 11/30 这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。 例 3 . 1 8 三、协方差与相关系数的区别与联系 作业： 习题三：14，23，26