第二章 刚体的定轴转动

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1、课程指导课三 5. 刚体的定轴转动 5.1 刚体运动学 5.2 转动定理 转动惯量 5.3 刚体的动能与势能 5.4 角动量定理及角动量守恒定律 教师：郑采星 大学物理 1 第2章 刚体的定轴转动 基本要求 教学基本内容、基本公式 理解转动惯量，掌握刚体绕定轴转动定理，理解力矩的功和转动动能。理 解动量矩和动量矩守恒定律，能用其分析和计算有关刚体定轴转动的力学 问题。 (1) 力矩 (2) 转动惯性（I） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，跟刚体的总质量、质量的分布及转 轴的位置有关。 质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量 平行轴定理 刚体对某轴的转动惯量I 等于通 过质心而平行该轴的转动惯量I

2、c 加上刚体的质量乘以两轴之间的 距离的平方。 2 (3) 转动定律 刚体所受的对某一定轴的合外力矩M等于刚体对同一转轴的转动惯量I与 刚体在合外力矩作用下所获得的角加速度 的乘积。 (4) 刚体的动能与势能 刚体绕定轴转动的动能定理 刚体绕固定轴转动动能的增量等于合外力矩所作的功 对于包含有刚体在内的系统，若运动过程中只有保守力作功 （或 A外力+A非保守内力= 0），则系统的总体械能守恒。 3 (5) 刚体的角动量及角动量守恒定律 刚体对转轴的角动量 角动量定理 刚体在某时间间隔内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内 的角动量的增量。 角动量守恒定律 当刚体所受的合外力矩等于零时刚体的

3、角动量保持不变。 4 对刚对刚 体定轴转动轴转动 的公式及计计算要采用对应对应 的方法来帮助理解和记忆记忆 ，即 刚刚体转动转动 的物理量跟平动动的物理量相对应对应 ： 5 1. 半径为 20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm的被动轮转动，皮带 与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速转动，在 4s 内被动轮 的角速度达到 8 rads -1， 则主动轮在这段时间内转过了 圈。 R1，主 R2，被 因为轮作匀角加速转动，有 6 2. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质 量为m1和m2的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻 滑轮沿逆

4、时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等 (B) 左边大于右边 (C) 右边大于左边 (D) 哪边大无法判断 C 继续分析滑轮，设角加速度方向如图，则 设加速度a方向如图 联立解出： 与原假设方向相反 应该是： 根据转动定理：M=I 合外力矩的方向应该也是， 7 3. 如图图所示，A、B为为两个相同的绕绕着轻绳轻绳 的定滑轮轮A滑轮轮挂一质质量 为为M的物体，B滑轮轮受拉力F，而且FMg设设A、B两滑轮轮的角加速度 分别为别为A和B，不计计滑轮轴轮轴 的摩擦，则则有 (A) AB (B) AB (C) AB (D) 开始时时AB，以后AB C 8 4. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径

5、为R， 放在一粗糙水平面上( 圆盘与水平面之间的摩擦系 数为 )，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴 转动则盘转动时受的摩擦力矩的大小为。 R O 解：设 为圆盘单位面积的质量，取所图所示圆环 ，求该圆环所受水平面的摩擦力矩的大小。 若该该圆盘绕绕通过过其中心且垂直板面的固定轴轴以角速度0开始旋转转，它 将在旋转转几圈后停止？ 根据转动定理，得角加速度 因为盘作匀角加速转动，有 9 5. 一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0设它 所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mk (k为正的常数)，求 圆盘的角速度从0变为0/2时所需的时间 解： 6. 光滑的水平桌面上有长为长为 2l、质质

6、量为为m的匀质细质细 杆，可绕绕通过过其中点O 且垂直于桌面的竖竖直固定轴轴自由转动转动 ，转动惯转动惯 量为为ml2/3，起初杆静止。 有一质质量为为m的小球在桌面上正对对着杆的一端，在垂直于杆长长的方向上， 以速率v运动动，如图图所示当小球与杆端发发生碰撞后，就与杆粘在一起随 杆转动转动 则这则这 一系统统碰撞后的转动转动 角速度是_. 解：角动量守恒 10 7. 空心圆环圆环 可绕绕光滑的竖竖直固定轴轴AC自由转动转动 ，转动惯转动惯 量为为I0，环环的半径为为R ，初始时环时环 的角速度为为0质质量为为m的小球静止在环环内最高处处A点，由于某种微 小干扰扰，小球沿环环向下滑动动，问问小

7、球滑到与环环心O在同一高度的B点和环环的最低 处处的C点时时，环环的角速度及小球相对对于环环的速度各为为多大?( 设环设环 的内壁和小球 都是光滑的，小球可视为质视为质 点，环环截面半径rR.) 解：选选小球和环为环为 系统统运动过动过 程中所受合外力矩为为零，角动动 量守恒对对地球、小球和环组环组 成的系统统机械能守恒取过环过环 心 的水平面为势为势 能零点 小球到B点时时： 式中vB表示小球在B点时时相对对于地面的竖竖直分速度，也等于它相对对于环环的速度由式（1 ）得： 代入式（2）得 当小球滑到C点时时，由角动动量 守恒定律，系统统的角速度又回 复至0，又由机械能守恒定律 知，小球在C的

8、动动能完全由重 力势势能转换转换 而来即： 11 8. 一质质量为为M、长为长为 l 的均匀细细棒，悬悬在通过过其上端O且与棒垂直的水 平光滑固定轴轴上，开始时时自由下垂，如图图所示现现有一质质量为为m的小 泥团团以与水平方向夹夹角为为a 的速度击击在棒长为长为 3/4处处,并粘在其上求 ： (1) 细细棒被击击中后的瞬时时角速度； (2) 细细棒摆摆到最高点时时，细细棒与竖竖直方向间间的夹夹角 解：(1) 选细选细 棒、泥团为团为 系统统泥团击团击 中后其转动惯转动惯 量为为 在泥团团与细细棒碰撞过过程中对轴对轴 O的角动动量守恒 泥团碰击前对轴O的 角动量为： 12 8. 一质质量为为M、

9、长为长为 l 的均匀细细棒，悬悬在通过过其上端O且与棒垂直的水 平光滑固定轴轴上，开始时时自由下垂，如图图所示现现有一质质量为为m的小 泥团团以与水平方向夹夹角为为a 的速度击击在棒长为长为 3/4处处,并粘在其上求 ： (1) 细细棒被击击中后的瞬时时角速度； (2) 细细棒摆摆到最高点时时，细细棒与竖竖直方向间间的夹夹角 解：(2) 选选泥团团、细细棒和地球为为系统统， 在摆摆起过过程中，机械能守恒 13 9. 长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静 止于竖直位置紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m若 单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细

10、杆作完全弹性碰撞，碰撞后 摆球正好静止求： (1) 细杆的质量 (2) 细杆摆起的最大角度 解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速 度为v0，碰后细杆角速度为， 系统角动量守恒， 得： 由于是弹性碰撞，所以单摆的动 能变为细杆的转动动能 代入 (2) 由机械能守恒式 并利用(1) 中所求得的关系可得 得 对摆球 对细杆 14 10. 一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水 平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位 于棒中心的一侧L/2处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速 度(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml 2/3

11、，式中 的m和l分别为棒的质量和长度) 解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为 或者刚体平动作为质点，对O点的角动量为 碰撞后瞬时时，杆对对O点的角动动量为为 因碰撞前后角动动量守恒，所以 方向： 式中 为杆的线密度 15 11.如图图所示，A和B两飞轮飞轮 的轴轴杆在同一中心线线上，设设两轮轮的转动惯转动惯 量分别为别为 J10 kgm2 和 J20 kgm2开始时时，A轮转轮转 速为为600 rev/min，B轮轮静止C为为摩擦啮啮合器，其转动惯转动惯 量可忽略不计计A、B 分别别与C的左、右两个组组件相连连，当C的左右组组件啮啮合时时，B轮轮得到加 速而A轮轮减速，直到两轮轮的转转速相等为为

12、止设轴设轴 光滑，求： (1) 两轮啮轮啮 合后的转速n； (2) 两轮轮各自所受的冲量矩 解：(1) 选择选择 A、B两轮为轮为 系统统，啮啮合过过程中 只有内力矩作用，故系统统角动动量守恒 转速 (2) A轮轮受的冲量矩 B轮轮受的冲量矩 负号表示与A方向相反 方向与A方向相反 16 12. 地球对对自转轴转轴 的转动惯转动惯 量是0.33mR2，其中m是地球的质质量（ 5.981024kg），R是地球的半径（6370 km）求地球的自转动转动 能 由于潮汐对对海岸的摩擦作用，地球自转转的速度逐渐渐减小，每百万年自 转转周期增加16s这样这样 ，地球自转动转动 能的减小相当于摩擦消耗多大的

13、功率 ？潮汐对对地球的平均力矩多大？ 解题：地球的自转动能为 地球自转动能的变化率为 即相当于摩擦消耗的功率为为2.6109kW，由此可以算出，一年内潮汐消 耗的能量相当于我国1999年的发电发电 量（41018J）的大约约20倍 17 11. 地球对对自转轴转轴 的转动惯转动惯 量是0.33mR2，其中m是地球的质质量（ 5.981024kg），R是地球的半径（6370 km）求地球的自转动转动 能 由于潮汐对对海岸的摩擦作用，地球自转转的速度逐渐渐减小，每百万年自 转转周期增加16s这样这样 ，地球自转动转动 能的减小相当于摩擦消耗多大的功率 ？潮汐对对地球的平均力矩多大？ 即相当于摩擦消

14、耗的功率为为2.6109kW，由此可以算出，一年内潮汐消 耗的能量相当于我国1999年的发电发电 量（41018J）的大约约20倍 潮汐作用对地球的平均力矩为 本题是把转动的知识用于分析潮汐对地球的摩擦的简单应用题 18 研讨题2：刚刚体定轴转动时轴转动时 ，它的动动能的增量只决定于外力对对它做的功而 与内力的作用无关。对对于非刚刚体也是这样吗这样吗 ？为为什么？ 参考解答：根据动动能定理可知，质质点系的动动能增量不仅仅决定于外力做的功， 还还决定于内力做的功。 由于刚刚体内任意两质质量元间间的距离固定，或说说在运动过动过 程中两质质量元的 相对对位移为为零，所以每一对对内力做功之和都为为零。故刚刚体定轴转动时轴转动时 ，动动能 的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。 非刚刚体的各质质量元间间一般都会有相对对位移，所以不能保证证每一对对内力做 功之和都为为零，故动动能的增量不仅仅决定于外力做的功还还决定于内力做的功。 研讨题1：将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使它旋转，如何判定哪个 是生的，哪个是熟的？为什么？ 答：转动时间短的是生鸡蛋。 从转动动能来分析，设初始两者动能相同，因为生蛋内部是流体，各 点的角速度不等，各层间有相对流动，越向内其速度越小，由于流动各层 间有摩擦，要消耗能量生蛋转的圈数要低于熟蛋转的圈数 19