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1、信号的时频分析： 信号时频分析的重要性： 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。 信号时频分析的主要方法： Waves 傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数. 窗口傅立叶变换（Gabor变换）： 窗口傅立叶变换的定义： 假设 f(t) L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶 变换定义为： 窗口傅立叶变换的物理意义： 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(, b)给出的是 f(t)在局部时间范围b - Dt/2, b + Dt/2内的频谱信息 。 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强 。 连续小波变换： 连续小波变换
2、的定义： 假设信号 f(t) L2(R)，则它的连续小波变换定义为 ： 尺度伸缩参数 时间平移参数 归一化因子 连续小波变换的逆变换 互为对偶关系 尺度和时移参数的离散化： 离散化后的小波变换： 怎样选择小波函数才能够重构信号： 小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。 小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参 数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散 化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很 大。 尺度和时移参数的离散化： 重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）： 对任意的 f(t) L2(R)，称j,k为一个框架，如果存在 正参数A和B（ 0 A B ），使得： 分析小波
3、合成小波 标准正交小波基： 标准正交小波基的优点： 变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。 标准正交小波基与它的对偶相同。 计算简单： 多分辨分析 空间 一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 Mallat算法 一维双正交多分辨分析 一维正交多分辨分析 常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基 MRA (非正交)尺度函数 正交尺度函数 低通滤波器 高通滤波器 小波函数 Mallat算法 正交化 两尺度方程 小波方程 MRA 令 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： ， 1) 单调性： ， 2) 逼近性 ： ， 3) 伸缩性 ： 4) 平
4、移不变性 ： 5) Riesz 基存在性 ： 存在函数 使 ， 构成 的一个Riesz基（不一定是正交的） 。 称为尺度函数。 多分辨分析。 MRA（续） 两个重要的完备的内积空间 线性空间: 集合+代数运算（加法与数乘） 内积空间: 线性空间 + 内积运算 完备的内积空间: 内积空间+ 对limit运算封闭 泛函分析基础 Banach空间 Hilbert空间 空间的基底 广义函数 线性算子 代数 集上的运算 (集X上) 内部运算 是XXX的一个映射 外部运算 是AXX的一个映射(A是另一集) 距离空间 矩离空间是一个集合X连同一个满足下述条 件的一个映射d:XXR (1) 正性d(x,y)0
5、,且d(x,y)0如且仅如 x y (2) 对称性 d(x,y)d(y,x) (3) 三角不等式 d(x,z)d(x,y)d(y,z) 同一个集合,可以引入不同的距离 距离空间中相关概念 Cauchy序列 在距离空间X中,对于 的序列 ,如果 则称序列 是Cauchy 序列 极限点 Cauchy序列 的极限点 稠密 A是X的子集,如A的闭包是X,称A在X 稠密 空间可分 如果空间X 有一个稠密子集 距离空间中相关概念(续) 空间完备 一个空间X 称为是完备的,如果 在这个空间中的每个Cauchy序列都收敛于 X 中的点。 线性无关 线性空间X 一个子集A称为是线 性无关的,如果A 的每个非空子
6、集 关系 推出 对 所有 成立。 线性赋范空间 线性赋范空间 设X 是数域K 上的线性空间, 如果对于每个元素xX,相应一个实数 x,对于x,yX, aK, 有: (1) x0, 如且仅如x0 (2) ax ax (3) xyxy 则称x是x的范数,又称线性空间X按范 数构成线性赋范空间。 线性赋范空间相关问题 由范数导出距离 在线性赋范空间中，能由 范数导出距离 d(x.y)xy 这时 线性赋范空间也是距离空间。 按范数收敛 线性赋范空间X 中的序列收 敛 是 指 即 按范数收敛。 距离空间不必是赋范空间 距离可不由范 数引入。 Banach空间 Banach空间 一个完备的线性赋范空间称为
7、 Banach空间。 例1 空间 (1p)是满足 的实(复)数序列a 的集合，范数 定义为 例2 空间 (1p)是R上满足下述条 件的可测函数类 范数为 空间 的重要不等式 Minkovski 不等式 是 Holder 不等式 对于p1,q1, 是 CauchySchwarz 不等式(p=q=2特殊情形 )是 卷 积 卷积(函数卷积) 两个函数f,g 的卷积 定义 为 性质1 如果f,g ,那么f(x-y)g(y)对于所 有x R,关于y是可积的。进而, 可积,且 ,还有下述不等式成 立 性质2 如果f 是可积函数,g 是有界的局部 可积函数,则卷积 是连续函数。 卷积性质(续) 性质3 如果
8、f,g,h ,那么下列性质成 立: (1) (可交换) (2) (可结合) (3) (可分配) 内 积 内积 设X 为K (实或复)上的线性空间。在X 上定义了内积是指，对于X 中每一对元素f ，g，都对应一个确定的复数，记为 并满足下述性质: (1) 对称性 (2) 线性 (3) 正性 ，且 如且 仅如 其中 表示a 的复共轭。 Hilbert空间 内积空间 引入了内积的线性空间称为内积 空间。 内积空间是线性赋范空间 在内积空间中,对 每个 ，由内积导入范数，定义 为 则X 就变成了一个线性赋范空间。 Hilbert空间 一个完备的内积空间称为 Hilbert空间。 Hilbert空间的例
9、子与两向量正交 例1 空间是Hilbert空间，内积 定义 为 例2 空间是Hilbert空间，内积 定义 为 两向量正交 内积空间中的两向量x 与y 称 为是正交的，如果 这时常 写 。 内积空间性质 Schwarz不等式 则 平行四边形等式 则 勾股定理 ，x与y 正交， 则 正交(向量)组 正交组 X 是一个内积空间,在X中的一个非 零向量的集合S，如果S中任意两个不同元 素x与y正交，则称S是X中的一个正交向量 组。如果还有|x|=1对S中的所有x成立，则 称S是规范正交(向量)组。 规范正交序列 形成规范正交组的一个有限 或无限的序列称为规范正交序列。 内积空间任一线性无关向量序列，
10、都能使 用Gram-Schmidt规范正交化过程，得到规 范正交序列。 规范正交基 完全规范正交序列 在内积空间X 中的一个 规范正交序列 称为是完全的，如果对 于每个 ， 有 规范正交基 在内积空间X 中的一个规范正 交组S称为是规范正交基，如果对于每个X 中的元素x 都有唯一表示 其中 是S中不同元素。 内积空间X 中的一个完全规范正交序列是X 中的一个规范正交基。 规范正交基的相关结论 在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完 全的,如且仅如,对于所有 推出 Parseval公式 在Hilbert空间H中的一个规 范正交序列是完全的,iff 对于每个 成立。 可分Hilbert空间
11、 一个Hilbert空间是可分的 ，如果它包含一个完全规范正交序列。 在可分Hilbert空间中的每个正交集都是可数 的。 空间的基底 研究Hilbert空间或Banach空间基底时，只 考虑可分空间(即基底是可数的)。 Schauder基 设X 是可分的Banach空间， 对于 ，如果对于所有 , 存在唯一 使 则称 构成X 的一个Schauder基。 无约束基 一个基称为是无约束基,如果除 了满足上述Schauder条件外,还满足: (1) 由 能推出 (2) if 且 则 可分Hilbert空间中,一个无约束基还称Riesz 基。 Hilbert空间的Riesz基 一个Riesz基还能用
12、下述等价要求特征化:存 在 使对于所有 ， 有 成立。 上述条件加上 线性无关才是Riesz基. 规范正交基是A=B=1的Riesz基。 对于Riesz基，计算是数值稳定的。 Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基。 广义函数(Dirac函数) Dirac函数(x) (x)有下述 的 性 质 要找到通常意义下的函数满足上式是不可 能的，但能找到通常意义下的函数序列， 序列的极限满足上式。 例子 Gauss函数序列 则 有 (x)称为广义函数。 广义函数(x)的基本性质 函数f 在点x=u连续， 则 有 上面结论可写成卷积形式 为 引入Gauss函数族 为 重要结果 令 ，在f 的每个连续 点有 函数支撑 函数支撑(支
