结构力学——第6章结构位移计算.

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1、第六章 结构位移计算 6-1 概述 6-2 变形体系的虚功原理 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6-5 图乘法 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 6-8 线弹性结构的互等定理 6-9 空间刚架的位移计算公式 6-1 概述 变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。 线段AAA点的线位移，计为A。 截面A转动的角度截面A的角位移， 计为A。 A可用水平分量Ax和竖向分量 Ay 表示。 6-1 概述 截面A的角位移（顺时针方向） 截面B的角位移（逆时针方向） 截面A、B的相对角位移 C点水平线位移（向

2、右） D点水平线位移（向左） C、D两点的水平相对线位移 产生位移的原因：荷载 温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差 6-1 概述 计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。 （3）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。 图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移 fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位 。 6-2 变形体系的虚功原理 变形体系的虚功原理： 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所 做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和

3、，简单 地说，外力虚功等于变形虚功。 位移状态与 力状态无关 虚位移必须 是微小的 6-2 变形体系的虚功原理 外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。 变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能 。 略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为： 对整个结构有： 虚功方程为 ： 6-2 变形体系的虚功原理 虚功原理的应用 虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。 虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。 6-3

4、 位移计算的一般公式 单位荷载法 图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形 ，求K点沿任一指定方向kk的位移K。 虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的 K 上作虚功。 外力虚功为 变形虚功为 由虚功原理 平面杆件结构位移计算一般公式 设 FK=1 单位荷载法 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态 广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称 。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶

5、、某一力系的统称。 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 求图a所示桁架AB杆的角位移。 在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。 AB杆的角位移 荷载所做的虚功 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。 求图a所示结构K点的竖向位 移KP。位移计算公式为 虚拟状态如图b所示。由材料力学 k剪切变形的 改正系数 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为： 梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为： 桁架（只有轴力）的位移计算公式为： 组

6、合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为： 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移Ay。各杆的材料相 同，截面的I、A均为常数。 解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为 AB段： BC段： （2）实际状态中，各杆内力为 AB段 ： BC段 ： （3）代入位移计算公式 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 （4）讨论 上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5 截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当h/l=1/10，G=0.4E时，

7、计算得 此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移Bx。设 梁的截面厚度远小于其半径R。 解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为 虚拟状态 虚拟状态如图b，截面弯矩为 代入位移计算公式，可得 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（10-4m2）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的 6-4

8、静定结构在荷载作用下的位移计算 6-5 图乘法 梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； （3）M和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形 。 计算可以简化 如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外 。 tan为常数 6-5 图乘法 MP图中阴影的微分面积 微分面积对y轴的静矩 AMP图的面积； xC形心C到y轴的距离。 yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标 图乘法 6-5 图乘法 如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）

9、竖标yC只能取自直线图形。 （3）A与yC若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。 6-5 图乘法 常用简单图形的面积和形心 6-5 图乘法 两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。 两个图的竖标a、b或c、d不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。 6-5 图乘法 均布荷载作用下的任何一段直杆 ： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物 线图形如图a。 图a的弯矩图与图b所示相 应简支梁的弯矩图是相同的， 由此可以很方便地进行图乘。 6-5 图乘法 yC所在图形是折线图形时， 应分段图乘。如图所示。 杆件为变截面直杆时，应分 段图乘。如图

10、所示。 6-5 图乘法 例6-4 试求图a所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数 。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态如图c所示。 由图乘法，可得 6-5 图乘法 例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向位移Ay，并勾绘刚架的 变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示 。 虚拟状态弯矩图如图c所示 。 根据 实际状态 弯矩图， 判定杆件 变形后的 凸凹方向 。 6-5 图乘法 例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移Cy，梁的EI=常数 。 解：实际状态弯矩图如图b所示 。 虚拟状态弯矩图如图c所示 。 将AB段的弯矩图分解为一个三角 形和一个标准二次抛物线图形。 由图乘法得 6-5

11、 图乘法 例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移Dy。 解：实际状态FNP、MP如图b所示。 虚拟状态FN、M如图c所示。 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 试求图a所示结构由于温度变 化产生的K点的竖向位移Kt。 为材料的线膨胀系数。 杆轴线处的温度变化为 对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，t=0 。 杆件截面对称于形心轴 将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得 若各杆为等截面杆 符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。 对于桁架 对于桁架由于杆件制造误差 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例6-8 图a所示刚架施工时温度为20，试

12、求冬季当外侧温度为 -10 ，内侧温度为0 时A点的竖向位移Ay。已知 l=4m，=10-5 -1，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。 解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为t1， t1=-30 ，内侧温度变化为t2=-20 。 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 图a所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷c2和转角c3， 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如K点的竖向位移Kc。 对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为 为虚拟状态的支座反力 与c方

13、向一致时其乘积取正 例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移By=0.06m, 水 平位移为Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引 起的A段转角 。 解：虚拟状态及支座反力计算结果如图b。 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 6-8 线弹性结构的互等定理 （1）功的互等定理 W12第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功 Wi12第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功 同理 可得或 功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 （2）位移互等定理设：F1=1，F2=1，由功的互等定理 可得 单位

14、力引起的位移用小写字母12和21表示 上式改写为 位移互等定理： 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等 于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 。 6-8 线弹性结构的互等定理 单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。 如图a、b。 根据位移互等定理，应有 由材料力学 注意：F=1、M=1的量纲为1， 含义不同，但此时二者在 数值上是相等的，量纲也相同。 6-8 线弹性结构的互等定理 6-8 线弹性结构的互等定理 （3）反力互等定理 图a表示支座1发生单位位移的状态，此时支座2产生的反力为r21。 图b表示支座2发生单位位移的状态，此时支座1产生的反

15、力为r12。 由功的互等定理 可得 反力互等定理： 支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于 支座2发生单位位移所引起的支座2的反力。 6-8 线弹性结构的互等定理 （4）反力位移互等定理 图a表示F2=1作用时，支座1的反力偶为r12，方向如图。 图b表示支座1顺r12方向发生单位转角时，F2作用点沿其方向的位移为21。 由功的互等定理 可得 反力位移互等定理： 单位力所引起的结构某支座反力，等于该支座发生单位位移时 所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。 6-8 空间刚架的位移计算公式 空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量，如图 。 位移计算公式为 对于空间刚架，可略去剪力及轴力的影响。 当刚架各杆轴线均在同一平面内， 外力垂直于此平面，略去剪力影响时， 位移计算公式为