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1、第10章 结构的动力计算 10-2 单自由度体系的自由振动 10-3 单自由度体系的强迫振动 10-4 阻尼对振动的影响 10-5 两个自由度体系的自由振动 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 10-7 小结 10-1 动力计算的特点和动力自由度 10-1 动力计算的特点和动力自由度 1 结构动力计算的特点 若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 按静荷载考虑； 若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 按动荷载考虑. 动荷载与静荷载的区别 动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。 动力计算与静力计算的区别 (1)平衡方程中包括惯性力。 (2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和
2、内力都是时间的函数 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 2 动荷载的分类 典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转 动部分引起的荷载 属于简谐荷载 第一类周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。 t t 简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示 非简谐性的周期荷载 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 各种爆炸荷载属于这一类 第二类冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。 ttr ttd 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子 第三类随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。 某次地震波时程 2004年8月 10-
3、1 动力计算的特点和动力自由度 3 动力计算中体系的自由度 自由度:为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位 置所需确定的独立几何参数的数目. 动力体系的简化方法 第一、集中质量法 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 自由度的个数与集中质量的个数不一定相等 一个集中质量，两个自由度 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 第二、广义质量法 具有分布质量的简支梁的挠度曲线。 通常只取级数的前n项。 2004年8月 10-1 动力计算的特点和动力自由度 第三、有限元法 1 振动方程的建立 刚度法 体系在惯性力作用下
4、处于动态平衡 。 柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。 10-2单自由度体系的自由振动 10-2 单自由度体系的自由振动 2 振动方程的解 将振动微分方程改写为 代入初始条件 通解 得动位移为 10-2 单自由度体系的自由振动 由y0引起的 由v0 引起的 总位移 10-2 单自由度体系的自由振动 将动位移表达式改写成单项式 初始相位角 振幅（amplitude of vibration） 10-2 单自由度体系的自由振动 3 结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ） 周期 频率 圆频率 完成一次振
5、动需要的时间 单位时间内完成振动的次数 2个单位时间内完成振动的次数 几个定义 y a 10-2 单自由度体系的自由振动 计算公式的几种形式 10-2 单自由度体系的自由振动 自振周期的特性 （1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。 （3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。 10-2 单自由度体系的自由振动 例题1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率 解对于竖向振动，柔度系数为 10-2 单自由度体系的自由振动 例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期 解（1）水平振动 当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水
6、平位移为 （2）竖向振动 当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为 10-3 单自由度体系的强迫振动 1 简谐荷载 刚度法 体系在惯性力和动荷载的 共同作用下处于动态平衡 。 将振动微分方程写成 二阶常系数非齐次方程 10-3 单自由度体系的强迫振动 齐次通解 将特解代入方程,得 非齐次特解 全解为 10-3 单自由度体系的强迫振动 代入初始条件 瞬态振动 由于阻尼的存在很快消失 稳态振动特解 10-3 单自由度体系的强迫振动 考虑稳态振动 动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移 动力系数 10-3 单自由度体系的强迫振动 动力系数的讨论 荷载变化比较慢，可按静载处理 。 动力系数随频率比增加而
7、增加。 产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。 动力系数的绝对值随频率比增大而减小。 10-3 单自由度体系的强迫振动 例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数 W=534cm3 ，弹性模量E=2.1105MPa。电动机重量G=35kN ，转速n=500r/min，离心力FP=10kN，竖向分力FPsint。试 求梁动力系数和最大正应力。 解 （1）自振圆频率 （2）荷载频率 10-3 单自由度体系的强迫振动 （3）求动力系数 （4）求跨中最大正应力 10-3 单自由度体系的强迫振动 2 一般动荷载：将动荷载分成一系列瞬时冲量 （1）在时刻瞬时冲量 的作用下质体获得
8、速度 （2）质体以这个速度作为初速度,开始 作自由振动t时刻的动位移为 （3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 10-3 单自由度体系的强迫振动 零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式 杜哈梅积分(Duhamel) 10-3 单自由度体系的强迫振动 （1）突加荷载 质点围绕静力平衡位置作简 谐振动，动力系数为 突加荷载引起的最大位移 是静位移的2倍。 10-3 单自由度体系的强迫振动 （2）短时荷载 10-3 单自由度体系的强迫振动 （3）线性渐增荷载 10-3 单自由度体系的强迫振动 11时， 0， 做极 微小的振动，动位移 0 。 / =1的附近，阻尼对 影 响明显。
9、 大、小。 0.75 / 1.3共振区 共振区以外不考虑阻尼的影响 ，按无阻尼计算。 10-4 阻尼对振动的影响 的最大值并不发生在/ =1处。 实际中 10-4 阻尼对振动的影响 （2） / 对的影响 10-4 阻尼对振动的影响 位移与动荷载同步。 最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。 动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力 讨论三个典型情况 与弹性力相比,阻尼力和惯性 力都很小。 动荷载的作用相当于静载 动荷载振动很慢。 10-4 阻尼对振动的影响 位移滞后动荷载900。 动荷载与阻尼力平衡。 共振时，增大阻尼，可以降低位移 动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力 10-4 阻尼对振动的影响
10、 位移与动荷载反向,滞后1800。 与惯性力相比,弹性力与阻尼 力很小。 动荷载振动很快。 动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力 动荷载与惯性力平衡。 10-5 两个自由度体系的自由振动 1刚度法 FR1(t)0 FR2(t)0 1 k12 k22 质点2 单位位移 1 k11 k21 质点1 单位位移 只有 惯性力 在惯性力和质点位移的作用下，附加 约束上的反力为零。 a 振动方程 10-5 两个自由度体系的自由振动 令 两个质体的运动具有以下特点: 两个质体具有相同的圆频率和相位角. 两个质体的位移比值不变. b 振型方程和频率方程 将位移表达式 代入振动方程 振型方程 振型 10-5
11、两个自由度体系的自由振动 取非零振型解,则 展开,得 从小到达排列:1:第一频率或基本频率; 2:第二频率; 频率方程或 特征方程 10-5 两个自由度体系的自由振动 将=1代入振型方程 第一振型 此时，位移为 位移 速度初位移 初速度 若体系按第一振型振动,需要满足初始条件. 10-5 两个自由度体系的自由振动 将=2代入频率方程 第二振型 此时,位移为 位移 速度初位移 初速度 若体系按第二振型振动,需要满足初始条件. 体系按某一振型振动是由初始条件决定的. 10-5 两个自由度体系的自由振动 一般情况下,振动是两种振型的组合 10-5 两个自由度体系的自由振动 例题 试求图示体系的频率和
12、振型 解(1)求刚度系数 EI1= m1 EI1= m2 k1 k2 1 k21 k11 1 k12 k22 10-5 两个自由度体系的自由振动 (2)求频率 若 则 即 讨论 10-5 两个自由度体系的自由振动 将=1代入振型方程,得 第一振型 将=2代入振型方程,得 第二振型 (3)求振型 1.618 1 0.618 1 第一振型的初始条件容易满足, 所以位移中第一振型的比例较大 10-5 两个自由度体系的自由振动 2柔度法 a 振动方程 在惯性力的作用下，质体的位移等于实际动位移。 振动方程 1 质体1 单位力 1 质体2 单位力 10-5 两个自由度体系的自由振动 令 b 振型方程和频
13、率方程 频率方程或 特征方程 将位移表达式 代入振动方程 振型方程 10-5 两个自由度体系的自由振动 展开频率方程，得 频率为 将=1, =2 分别代入振型方程,得 第一振型第二振型 10-5 两个自由度体系的自由振动 例题 试求结构的自振频率和振型.EI=常数,m1=m2=m m1m2 l/3l/3l/3 解(1)求柔度系数 (2)求频率 1 2l/9 1 2l/9 图 图 10-5 两个自由度体系的自由振动 (3)求振型 111 1 第一振型(正对称 ) 第二振型(正对称 ) 10-5 两个自由度体系的自由振动 3主振型的正交性 若体系按第一振型振动 Y11 Y21 Y12 Y22 若体
14、系按第二振型振动 功的互等定理 因为,故 主振型的第一个正交关系 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 1刚度法 y1 y2 FR20 FR10 在荷载、惯性力和质点位移的作用下， 附加约束上的反力为零。 a 振动方程 只有 动荷载 1 k12 k22 质体2 单位位移 1 k11 k21 质体1 单位位移 只有 惯性力 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 若荷载为简谐荷载，即 则稳态振动的解为 代入振动方程，得 位移幅值为 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 位移幅值为 若 则 n个自由度体系有n个共振区 频率方程 （1）共振问题 10-6 两个自由度体系在
15、简谐荷载下的强迫振动 荷载 位移惯性力 荷载、位移、惯性力同时达到幅值。 可以直接列幅值方程，求动位移和动内力幅值。 （2）荷载、位移、惯性力同步 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 例题 解 刚度系数为 荷载幅值为 试求横梁振幅Y1、Y2与荷载频率 之间 的关系曲线。设m1=m2=m；k1=k2=k。 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 因 m1=m2=m，k1=k2=k，得 频率已由例10-4求出 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 从曲线可以看出 ： 有两个共振区 在结构上附加子系统， 可以消除主结构的振动 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 吸振器设计步骤 （1）根据m2的许可振幅，选定k2 。 （2）根据m2= k2/ 2,确定m2的值。 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 2柔度法 a 振动方程质体在惯性力和荷载的作用的静位移等于动位移。 振动方程 令 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 将位移表达式 代入振动方程 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 1 2l/9 图 1 2l/9 图 m1m2 l/3l/3l/3 已知：EI=常数， 解(1)求柔度系数和自由项 F 2Fl/9 MP图 求振幅和动弯矩图及动剪力图. 10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 (2)振幅 1
