四点共圆（四）

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1、四点共圆(四)四点共圆(四) 【例【例1】如图，已知】如图，已知ABC中，中，AH是高，是高，AT是角平分线，且是角平分线，且 TDAB，TEAC。 求证：求证：AHDAHE BHCH BHCH BDCE 【例例1】在四边形在四边形ABCD中中， BAC25，BCA20，【例例1】在四边形在四边形ABCD中中， BAC25，BCA20， BDC50，BDA40，求，求CPB。 【例【例1】O过过ABC顶点顶点A、C，且与，且与AB、BC交于交于K、 N(K与与N不同不同)ABC外接圆和外接圆和BKN外接圆相外接圆相N(K与与N不同不同)。ABC外接圆和外接圆和BKN外接圆相外接圆相 交于交于B

2、和和M。求证：。求证：BMO90 【例【例2】在】在RtABC中，中，AD为斜边为斜边BC上的高，上的高，P是是AB上的上的 点点过过A作作PC的垂线交过的垂线交过B所作所作AB的垂线于的垂线于Q点点点点，过过A作作PC的垂线交过的垂线交过B所作所作AB的垂线于的垂线于Q点点。 求证： 。 求证：PDQD。 1 【例【例2】如图所示，在锐角】如图所示，在锐角ABC中，中，ADBC ，垂足为点，垂足为点 D；DEAB垂足为点垂足为点E； DFAC垂足为垂足为D；DEAB ，垂足为点垂足为点E； DFAC ，垂足为垂足为 点点F。若点。若点O为为ABC的外心，求证：的外心，求证：AOEF。 【例【

3、例2】如图所示，在锐角】如图所示，在锐角ABC中，中，BD、CE分别是边分别是边 ACAB上的高上的高以以AB为直径作圆交为直径作圆交CE于点于点M在在AC、AB上的高上的高，以以AB为直径作圆交为直径作圆交CE于点于点M，在在 BD上取点上取点N，使得，使得ANAM，求证：，求证：ANCN。 【例【例3】如图，过】如图，过ABC的顶点的顶点C作这个三角形的外接圆作这个三角形的外接圆 的切线的切线lAP和和BQ是是ABC的两条高的两条高QQ l的切线的切线l，AP和和BQ是是ABC的两条高的两条高，QQ1l ， PP1l，求证：，求证：QQ1PP1。 【例【例3】如图，在】如图，在ABC的边

4、的边AB、AC上分别取上分别取 1 点点Q、P，使得，使得 求证求证BQCP 1 2 PBCQCBA ， ， 求证求证：BQCP。 2 【例【例3】如图所示，锐角】如图所示，锐角ABC的三条高 的三条高AD、BE、CF交于交于 点点H，连接连接DF交交BH于点于点P，过点过点P作作PQAD且且点点H，连接连接DF交交BH于点于点P，过点过点P作作PQAD且且 交交AB于点于点Q，求证：，求证：QE平分线段平分线段AH。 【例【例4】如图，在】如图，在ABC中， 中，ADBC，BEAC，AD与与 BE交于点交于点H，P为边为边AB的中点的中点，过点过点C作作CQ PH BE交于点交于点H，P为边为边AB的中点的中点，过点过点C作作CQ PH 于于Q。求证：。求证：PE2PHPQ。 【例【例4】如图，动点】如图，动点P在 在O外，外，O的半径为的半径为r。过。过P任作任作O 的两条割线的两条割线PAB、PCD，AD、BC交于点交于点Q。的两条割线的两条割线PAB、PCD，AD、BC交于点交于点Q。 求证：不论点求证：不论点P与割线与割线PAB、PCD的位置怎样变化，的位置怎样变化， OP2OQ2PQ2恒为定值恒为定值OP OQ PQ 恒为定值恒为定值。 3