《固体物理课件-复旦大学lec24》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理课件-复旦大学lec24（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 1 习题习题3.7 对原子间距为对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆 积结构， 的由同种原子构成的二维密堆 积结构， 1. 画出前画出前3个布里渊区个布里渊区 2. 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 3. 给出第一布里渊区内接圆半径给出第一布里渊区内接圆半径 4. 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子 数 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子 数 5. 平均每个原子有两个自由电子时，在简约布里渊 区中画出费米圆的图形 平均每个原子有两个自由电子时，在简约布里渊
2、 区中画出费米圆的图形 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 2 解答解答 1. 简单六角结构简单六角结构 *第一布里渊区绿色第一布里渊区绿色(正六边形正六边形)，第二黄色区域，第 三兰色区域 ，第二黄色区域，第 三兰色区域 2. 费米波矢：费米波矢： 3. 内接圆半径：内接圆半径： 4. 平均电子数：平均电子数： 5. 费米波矢比第一布里渊区内接圆略大，但比 外接圆略小。略加修饰的六边形 费米波矢比第一布里渊区内接圆略大，但比 外接圆略小。略加修饰的六边形 a a a a 2 1 , 3 1 2 1 , 2 3 2 1 , 3 1 2 1 , 2 3 22
3、11 = = = = ba ba 2/1 2 F 3 4 = a k a r 3 2 = ()55.1 3 1 , 3 / 0 2 F = +=NNkr aa k 3 4 3 8 2/1 2 F 0的这支色散关系称为声学 支 的这支色散关系称为声学 支 其振动模式称为声学模其振动模式称为声学模 qq m aq )( 在长波极限下，即当在长波极限下，即当qa http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 38 振幅之比振幅之比光学支光学支 由由 022 022 2 2 =+ = AmBqa AqaBM )()cos( )cos()( 因为对光学支因为对光学支 可得可得
4、所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反的相对振动 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反的相对振动 )cos(2 2 2 qa M B A = m q 2 )( min = 0 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 39 长波极限长波极限 即在长波极限下，光学支是原胞质心保持不动 的原胞内原子的相对振动 即在长波极限下，光学支是原胞质心保持不动 的原胞内原子的相对振动 离子晶体中长光学波有特别作用：相对振动产 生电偶极矩，与电磁波相互作用 离子晶体中长光学波有特别作用：相对振动产 生电偶极矩，与电磁波相互作用 *玻恩玻恩黄昆方程
5、黄昆方程 这些结论对三维也适用这些结论对三维也适用 长波极限：长波极限：q0时，时，cos(qa)1，而，而 0 2 2 2 = )cos(qa M B A 2 2 = 光学 0 =+=MBmA m M B A 所以所以 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 40 一维?三维：色散关系与振动自由度一维?三维：色散关系与振动自由度 一维单原子线性链的色散关系：一个声学支一维单原子线性链的色散关系：一个声学支 一维双原子线性链的色散关系：一个声学、一 个光学支 一维双原子线性链的色散关系：一个声学、一 个光学支 三维？原胞内有三维？原胞内有s个原子？个原子？ 与原
6、胞内原子的自由度有关：与原胞内原子的自由度有关：3个声学、个声学、3s-3个 光学支格波 个 光学支格波 对于对于q的的N个取值（个取值（N：原胞个数），共有：原胞个数），共有3N个 声学、 个 声学、(3s-3)N个光学振动模式个光学振动模式 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 41 4、三维体系的晶格振动、三维体系的晶格振动 原胞内原子数：原胞内原子数：s 自由度：自由度：3s optical acoustic http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 42 三维运动方程及其解三维运动方程及其解 晶体共有晶体共有i=1,N个
7、原胞，原胞内有个原胞，原胞内有j=1,s个原子， 每个原子有三个振动方向 个原子， 每个原子有三个振动方向=x,y,z 如果第如果第i个原胞内第个原胞内第j个原子的个原子的k方向的位移为方向的位移为 u,ij，势能是位移的函数。在平衡点附近有，势能是位移的函数。在平衡点附近有 . 2 1 , , , , , 0 , , 2 , , 0 , 0 + + += ji ji jiij jiij ji ijk ijk uu uu V u u V VV 简谐力：简谐力： = = , , , 0 , , 2 , , ji ji jiijij u uu V u V F ij 简谐 8 http:/10.45
8、.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 43 V对对ui,i的导数仅与的导数仅与i和和i的格矢差有关，因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 的格矢差有关，因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 尝试解尝试解 = , , , 0 , , 2 2 , 2 ji ji jiij ij j u uu V dt ud M 经典运动方程为经典运动方程为 tii j j ij i eu M u = Rq q)( 1 , http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 44 代入后可得：代入后可得： ( ) ( ) + = = , , , )( 0 , , 2 ,
9、2 1 ji j itii jiij j tii jj ue uu V M euM iii i q q RRqRq Rq ( )( ) = , , , )( 0 , , 2 , 2 1 ji j i jiij jj j ue uu V MM u ii qq RRq 即即 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 45 本征值方程本征值方程 写成写成 ( )( )( ) = , , , , 2 j jjjj uDuqqq ( ) = ii ii i jiij jj jj e uu V MM D RR RRq q )( 0 , , 2 , 1 D,jj(q)称为动力学
10、矩阵，即称为动力学矩阵，即 ( )0det 2 , = jjjj D q 上述线性方程组有非平凡解的条件是上述线性方程组有非平凡解的条件是 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 46 讨论讨论 形式上与能带本征值问题完全类似，形式上与能带本征值问题完全类似，D(q)相当 于 相当 于H(k) 3s x 3s维的矩阵（维的矩阵（s是原胞内原子的个数），而 且是个 是原胞内原子的个数），而 且是个Hermit矩阵（作为习题证明），即有实 数的本征值 矩阵（作为习题证明），即有实 数的本征值 对每一个对每一个q，l(q)，l=1,.,3s，共有，共有3s个实数 的本
11、征值， 个实数 的本征值，l(q)称为色散关系，称为色散关系，3支声学支， 其余光学支 支声学支， 其余光学支 对每一个对每一个l(q)，D分别有一个本征矢，本征矢 具有正交归一性和完备性 分别有一个本征矢，本征矢 具有正交归一性和完备性 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 47 ( )( )( )( ) = , )( , , )( , 2 j l jjj l jl cDcqqqq 本征矢的正交性本征矢的正交性 ( )( ) , ) ( , *)( , ll j l j l j cc = qq 本征矢的完备性本征矢的完备性 ( )( ) )( , *)( ,
12、jj l l j l j cc = qq 对每一个本征值，有一个本征矢，满足：对每一个本征值，有一个本征矢，满足： http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 48 本讲要点本讲要点 一维单原子链的晶格振动一维单原子链的晶格振动 *势能与力常数势能与力常数(简谐近似简谐近似)、运动方程、尝试解形式、运动方程、尝试解形式 (Bloch定理定理)，色散关系，色散关系(声学支振动声学支振动) 一维双原子链的晶格振动一维双原子链的晶格振动 *与单原子相比，有光学支振动与单原子相比，有光学支振动 *q0(长波近似长波近似)光学支、声学支色散关系特点？光学支、声学支色散关系特点
13、？ *光学支、声学支振幅关系光学支、声学支振幅关系相对质心的振动相对质心的振动 (q=0时，质心不动的振动时，质心不动的振动)、质心振动、质心振动 三维体系的晶格振动三维体系的晶格振动 *原胞中原子的自由度数原胞中原子的自由度数(3s)与振动格波数与振动格波数(3s，3s-3) 之间的关系之间的关系 9 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 49 概念要点概念要点 简谐近似简谐近似 色散关系色散关系 振动模式振动模式电子中的状态电子中的状态 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 50 思考问题思考问题 1. 不同原子的位移不同原子的位移x在周期性结构中有什么关 系？ 2. 原子之间的相互作用如果不只是考虑最近 邻，如何写出运动方程？ 在周期性结构中有什么关 系？ 2. 原子之间的相互作用如果不只是考虑最近 邻，如何写出运动方程？ http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 51 习题：习题： 5.1 5.2
