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1、返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并 用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 返回返回 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 一、变限积分与原函数的存在性 积分; 类似称为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 证则 为变上限的定 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 于是 定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 a, b 上连续, 上处处可导,
2、且 由 x 的任意性, f 在 a, b 上连续. 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 证 由于 f 在 x 处连续，因此 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在a, b上可积 . (i) 若函数 g 在 a, b 上单调减,且 则存 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 (ii)
3、若函数 g 在 a, b 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步 : (1) 对任意分割 T： 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 (4) 综合 (2), (3), 得到 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 推论 即 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 证 若 g 为单调递减函数， 则 h 非负、单调减,由定理 9.11(i)， 因此 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 即得 返回返回后页后页前页
4、前页返回返回后页后页前页前页 二、 换元积分法与分部积分法 则 证 定理9.12（定积分换元积分法） 的一个原函数. 因此 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 注 与不定积分不同之处: 定积分换元后不一定要 例1 解 （不变元,不变限） 元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限. 保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换 用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时， 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 例2 解 （变元,变限） 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 例3 解 （必须注意偶次根式的非负性） 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页
5、前页 例4 解 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 因此, 定理9.13（定积分分部积分法） 若 u(x),v(x)为 a, b 上的连续可微函数,则有定 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 积分的分部积分公式： 证 因为 uv 是在 a, b 上的一个原函数, 移项后则得 所以 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 例5 解 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 例6 解 于是 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 其中 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 若 u(x),v(x) 在 a, b 上有 (n+1) 阶
6、连续导函数,则 三、泰勒公式的积分型余项 由此可得以下带积分型余项的泰勒公式 . 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 阶连续导数, 则 则 定理9.14 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 由积分第一中值定理,可得 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 此式称为泰勒公式的柯西型余项. 若记 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 复习思考题 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页 (2) 给出正确证明 ( 提示: 需要借助变限积分 ). 要求: (1) 指出其中三处错误;
