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1、2017-2018学年第一学期2015级高三第二次月考数学试题（理科）时间;120分钟 满分：150分 第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1设集合， ，则（ ）A. B. C. D. 2已知， 为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D. 3已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，则函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 4若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A. B. C. D. 5在区间上随机地取两个数、,则事件“”发生的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）6在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则工艺部件的表面
2、积为（ ）A. B. C. D. 7设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 8若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. 5 C. 7 D. 99若，则（ ）（A） （B） （C） （D）10已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 11如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点C，若，且，则为（ ）A. B. C. D. 12若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分
3、，共20分）13在的展开式中， 项的系数为_14函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是_15已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则_.16我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角， ， 所对的边分别为， ， ，面积为，则“三斜求积”公式为.若， ，则用“三斜求积”公式求得的面积为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知等差数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）设， 求数列的前项和18（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中
4、我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（）完成被调查人员的频率分布直方图；（）若从年龄在15，25），25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（）在（）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望19（12分）如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .（）求证： 平面；（）求二面角的余弦值.20（12分）已知椭圆的离心率为
5、，短轴长为（）求椭圆的标准方程；（）若圆的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值21（12分）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.请考生在(22)、(23)两个题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.()求直线的普通方程及曲线
6、的直角坐标方程；()设直线与曲线交于两点，求.23（本小题满分10分）选修45；不等式选讲已知函数（）当时，解关于的不等式；（）若的解集包含，求实数的取值范围.史书记载，结束了三国分裂局面的晋武帝司马炎共有儿子26人，但太子司马衷却天生痴愚。晋武帝想废太子，另择继承人，皇后劝说：“立嫡以长不以贤，岂可动乎！”于是晋武帝没有更换太子。由此可见，晋武帝选太子是依据52015级高三上学期第一次月考数学试题（理科）参考答案1-5BDCAD 6-10ADCBB 1112 CD11【解析】设在准线上的射影分别为，则由于，则直线的斜率为， ，故，从而，故，即，故选C.12【解析】由3x+a(2y4ex)(l
7、nylnx)=0得3x+2a(y2ex)ln=0，即，即设，则t0，则条件等价为3+2a(t2e)lnt=0，即(t2e)lnt=有解，设g(t)=(t2e)lnt，为增函数，当te时,g(t)0，当0te时,g(t)0，即当t=e时,函数g(t)取得极小值为：g(e)=(e2e)lne=e，即g(t)g(e)=e，若有解，则,即，则a0或，实数的取值范围是13 14 15 1615【解析】设, ，因为，所以可得 ， ，三等式联立消去 可得 故答案为.16【解析】由正弦定理得，由得，则由得，则 .17解：（1）设等差数列的公差为，由题意知解得.所以数列的通项公式为（2）18解：（）各组的频率分
8、别为0.1,0.2,0.3，0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别,0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01（）由表知，年龄在内有5人，不赞成的有1人，年龄在内有10人，不赞成的有4人，恰有两人不赞成的概率为（）由已知得，的所有取值为0,1,2,3.所以的分布列是：所以的数学期望19解：（）过作交于，连接因为， ，所以 又，所以故，所以四边形为平行四边形，故，而平面， 平面，所以平面； (4分)（）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则， ， ， 平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，不妨设，则 所求二面角的余弦值为.20解:（I），所以,又
9、，解得 所以椭圆的标准方程 （II）设， ， ，易知直线的斜率不为，则设因为与圆相切，则，即； 由消去，得， 则， ， ， ，即， ， 设，则， ， 当时等号成立，所以的最大值等于21解：已知函数.（1）， 故切线方程为：. （3分）（2），由在定义域内为增函数，所以在上恒成立，即，对恒成立，设，易知，在上单调递增，在上单调递减，则，即. （8分）（3）设函数，则原问题在上至少存在一点，使得 ，当时，则在上单调递增，舍；当时，则，舍；当时，则在上单调递增，整理得，综上，. 22解：（）直线:（为参数），消去得，即 曲线： ，即，又， 故曲线： （）直线的参数方程为（为参数）直线的参数方程为（为参数），代入曲线： ，消去得 ， 由参数的几何意义知， 23解（）原问题等价于若，则，解得；若，则，不符合题意，舍；若，则，解得；不等式的解集为 （） 对恒成立时， 时， 综上：
