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1、多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业 第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法 第八章 多元函数微分法及其应用 1 一、多元函数的极值和最值 1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义:是在一点附近 将函数值比大小. 定义 点P0为函数的极大值点. 类似可定义极小值点和极小值. 设在点P0的某个邻域, 为极大值. 则称 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2 注 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 多元函数的极值也是局部的, 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值. 有时, 极值. 极值点. 内的值比较.
2、 是与P0的邻域 极小值可能比极大值还大. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 3 例 例 例 函数 存在极值, 在(0,0)点取极小值. 在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 在(0,0)点无极值. 椭圆抛物面 下半个圆锥面 马鞍面 在简单的情形下是 容易判断的. 函数 函数 (也是最小值). 函数 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 4 2.极值的必要条件 证 定理1(必要条件) 则它在该 点的偏导数必然为零: 有极大值,不妨设 都有 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 说明一元函数有极大值, 必有类似地可证 5 推广 如果三元函数 具有偏导数, 则它在有极值的必要条件 为 多元函数的极值与拉格
3、朗日乘数法 均称为函数的 驻点极值点 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的 点,驻点. 如何判定一个驻点是否为极值点 如,驻点, 但不是极值点. 注 6 3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 处是否取得极值的条件如下: (1)有极值, 有极大值,有极小值; (2)没有极值; (3)可能有极值,也可能无极值. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 7 求函数 极值的一般步骤: 第一步 解方程组 求出实数解,得驻点. 第二步 对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值 第三步 定出的符号, 再判定是否是极值. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 8 例 解 又 在点
4、(0,0)处, 在点(a,a)处, 故 故即 的极值. 在(0,0)无极值; 在(a,a)有极大值, 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 9 解 求由方程 将方程两边分别对x, y求偏导数, 由函数取极值的必要条件知,驻点为 将上方程组再分别对x, y求偏导数, 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 法一 10 故 函数在P有极值. 代入原方程, 为极小值; 为极大值. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 所以 所以 z zC Pyy - = = 2 1 | 11 求由方程 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 解 法二 配方法 方程可变形为 于是 显然, 根号中的极大值为4, 由可知,为极值. 即为极大值,为极
5、小值. 12 取得 . 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在, 这些点当然不是驻点, 如: 函数 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点. 注 由极值的必要条件知, 极值只可能在驻点处 但也可能是极值点. 在点(0,0)处的偏导数 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 13 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 考研数学(一), 4分 选择题 已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续, 则 (A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0
6、)是f (x, y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点. 14 其中最大者即为最大值, 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值. 4.多元函数的最值 求最值的一般方法 最小者即为最小值. 将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 15 解 (1) 求函数在D内的驻点 由于 所以函数在D内无极值. (2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上) 围成的三角形闭域D上的 最大(小)值. 例 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 D 16 在边界线 在边界
7、线 由于 最小, 由于 又在端点(1,0)处, 所以, 最大. 有驻点 函数值 有 单调上升. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 D 17 在边界线 所以, 最值在端点处. 由于 函数单调下降, (3)比较 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 D 18 解 此时 的最大值与最小值. 驻点 得 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 上在求4:94),( 2222 +=yxDyxyxf 19 对自变量有附加条件的极值. 其他条件. 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无 条件极值 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 二、条件极值 拉格朗日乘数法 20 解 例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高
8、各取什么值时长方体的体积最大？ 设长方体的长、宽、高分别为 由题意 长方体的体积为 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 且长方体体积 一定有最大值, 体体积最大. 故当的长、宽、高都为6时长方 由于V在D内只有一个驻点, ,18=+zyx 21 上例的极值问题也可以看成是求三元函数 的极值,要受到条件 的限制, 这便是一个条件极值 问题. 目标函数 约束条件 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时条件极值 目标函数中化为无条件极值. 可通过将约束条件代入 但在一般情形 甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 下,这样做是有困难的, 拉格朗日乘数法 xyz V = 18=+zyx
9、22 拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 在约束条件 下取得 利用隐函数的概念与求导法 如函数(1)在 由条件 (1) (2) 极值的必要条件. 取得所求的极值, 那末首先有(3) 确定y是x的隐函数 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 不必将它真的解出来,则 于是函数(1) 即, 取得所 取得极值. 求的极值. ),(,(xyxf z = 23 其中代入(4)得: 由一元可导函数取得极值的必要条件知: (4) 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 取得极值. 在 (3) ,(5)两式 取得极值的必要条件. 就是函数(1)在条件(2)下的 )(,(xyxf z = 24 设 上述必要条件变为: (6)中
10、的前两式的左边正是函数: (6) 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 的两个一阶偏导数在 的值. 函数 称为拉格朗日函数, 称为拉格朗日乘子, 是一个待定常数. 25 拉格朗日乘数法: 极值的必要条件 在条件要找函数 下的可能极值点, 先构造函数 为某一常数,其中可由 解出其中就是可能的极值点的坐标. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 26 如何确定所求得的点 实际问题中, 非实际问题我们这里不做进一步的讨论. 拉格朗日乘数法可推广: 判定. 可根据问题本身的性质来 的情况. 自变量多于两个 是否为极值点 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 27 解 则 又是实际问题, 解得唯一驻点 一定存在最值. 令
11、 此题是否也可化为无条件极值做 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 28 解为椭球面上的一点, 令 则 的切平面方程为 在第一卦限内作椭球面的 使切平面与三个坐标面所围成的 例 切平面, 四面体体积最小, 求切点坐标. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 29 目标函数 该切平面在三个轴上的截距各为 化简为 所求四面体的体积 约束条件 在条件 下求V 的最小值, 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 30 约束条件 令 由 目标函数 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 31 可得 即 当切点坐标为 四面体的体积最小 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 32 解 为简化计算,令 是曲面上的点,它与已知点的距离为 问题
12、化为在下求 的最小值. 目标函数 约束条件 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 33 设 (1) (2) (3) (4) 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 34 由于问题确实存在最小值， 故 得唯一驻点 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 还有别的简单方法吗用几何法! 35 解 为此作拉格朗日乘函数: 上的最大值与最小值. 在圆内的可能的极值点; 在圆上的最大、最小值. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 9)2()2( 2222 -+-+=yxyxz 在圆求函数 36 最大值为最小值为 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 9)2()2(),( 2222 -+-+=yxyxyxLl 22 yxz+= 函数 上，
13、在圆9)2()2( 22 -+-yx 37 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2002年考研数学(一), 7分 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标 面,其底部所占的区域为 小山的高度函数为 (1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点,问h(x, y)在该点 沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数 的最大值为g(x0 , y0), 试写出g(x0 , y0)的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 是说,要在D的边界线 上找出使(1)中 的g(x, y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置. 也就 38 多元函数的
14、极值与拉格朗日乘数法 解 (1) 由梯度的几何意义知, 方向的方向导数最大, h(x, y)在点M(x0 , y0) 处沿梯度 方向导数的最大值为该 梯度的模, 所以 (2) 令 由题意,只需求 在约束条件 下的最大值点. 令 39 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 则(1) (2) (3) (1) + (2): 从而得 由(1)得再由(3)得 由(3)得 于是得到4个可能的极大值点 可作为攀登的起点. 40 多元函数极值的概念 条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数取得极值的必要条件、充分条件 多元函数最值的概念 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 三、小结 (上述问题均可与一元函数类比) 41 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 思考题 答不一定. 二元函数在点处有极值 (不妨设为极小值), 是指存在当点 且沿任何曲线趋向于 一元函数在点 x0处取得有极小值, 表示动点且沿直线 42 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负 方向)趋向于 它们的关系是: 在点取得极大(小)值 取得极大(小)值. 43
