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1、一、格林公式,二、曲线积分与路线的 无关性,在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.,数学分析 第二十一章 重积分,*点击以上标题可直接前往对应内容,设区域 D 的边界 L 是由,一条或几条光滑曲线所,组成.,规定为:,时, 区域 D 总在它的左边,如图 21-12 所示.,为负方向,记为,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,格林公式,边界曲线的正方向,当人沿边界行走,与上述规定的方向相反的方向称,阶偏导数, 则有,(1),这里 L
2、 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.,公式(1)称为格林公式.,证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形,(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13),作出证明:,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,又可表为,程,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,则 D 可表为,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,于是,将上述两个结果相加即得,(ii) 若区域 D 是由一条,按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将,D 分成有限个既是 x 型,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林
3、公式,曲线积分与路线的无关性,同理又可证得,又是 y 型的子区域 ,格林公式, 然后相加即可.,则可逐块按 (i) 得到它们的,如图21-14 所示的区域 D,是 y 型的区域,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,于是,可将它分成三个既是 x型又,(iii) 若区域 D 由几条闭曲线,所围成, 如图21-15 所示.,把区域化为 (ii) 的情形来处,时可适当添加线段,理.,后, D 的边界则由,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,这,在图21-15中添加了,及 构成. 由(ii)知,注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
4、,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,所围成的区域便是如此.,例如由,注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:,注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.,请看以下二例:,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,第一象限部分 (图21-16).,解 对半径为 r 的四分之一圆域 D,应用格林公式:,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,因此,点的闭区域 D 的边界线.,解 因为,于是，由格林公式,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,面区域 D 的面积 S
5、D 的公式:,(2),3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,形的面积 (图21-17).,表示,为直线,于是,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,在第二十章2 中计算第二型曲线积分的开始两个,例子中,B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分,值也不同,点有关, 与路线的选取无关.,什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.,首先介绍单连通区域的概念.,若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不经过 D,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积
6、分与路线的无关性,曲线积分与路线的无关性,读者可能已经注意到, 在例1中, 以 A 为起点,但在例2 中的曲线积分值只与起点和终,本段将讨论曲线积分在,以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点,面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.,是复连通区域.,一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点.,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,则称此平,单连通区域也可以这样叙述: D 内任,更通俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连,通区域则是有“洞”的区域.,设 D 是单连通闭区域. 若函数,在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数,下四个条件等价:,(i) 沿 D
7、 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,则以,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,(iv) 在 D 内处处成立,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,所以,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得,
8、D 内任意一点.,对于 x 的偏增量(图21-20),3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,与路线的选择无关,由 (ii), 曲线积分,即有,因为在 D 内曲线积分与路线无关,因直线段 BC 平行于 x 轴, 故,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,从而由积分中值定理可得,同理可证,所以证得,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,其中,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与
9、路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,于是由,以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每,一点处都有,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,即在 D 内有,(iv) 在 D 内处处成立,含在 D 内.,的条件, 就得到,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,由于 D 为单连通区域, 所以区域,上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了,它们是相互等价的.,记 L,应用格林公式及在 D 内恒有,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(iv) 在 D 内处处成立,应用定理21.12 中的
10、条件(iv)考察第二十章2 中的,在例1中,在例2 中,由于,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,例1 与例2.,所以积分与路线无关.,到点 D(0,1) 的路径(见图21-21).,分析 如果第二型曲线积分,路径无关的条件,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,在某单连通区域内满足与,积分路径, 使易于计算.,则可改变,记,易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,解,可被包含在某,一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有,3格林公式曲线积分与路线的无关性,
11、格林公式,曲线积分与路线的无关性,注1 定理 21.12中对“单连通区域”的要求是重要的.,何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内,的任何封闭曲线 L 上, 皆有,(3),如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽,然算起来很简单, 但却不可用.,的单连通区域必定含有奇点 E .,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,又如本节例 2, 对任,因为任何包含,只在剔除原点外的任何区域 D 上有定义,含在某个复连通区域内.,的条件, 因而就不能保证(3)式成立.,为绕原点一周的圆,则有,倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线, 则函数,3格林公式曲线积分与
12、路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,这时它不满足定理 21.12,所以 L 必,事实上, 若取 L,由上述证明可看到二元函数,具有性质,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,例5 试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理21.12, 曲线积分,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,线段,注 由例4 可见, 若,则求全微分的原函数可用公式,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,于是有,或,下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数.,例6 求全微分,的原函数,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,解 由于,由,3格林公式曲线积分与路线的无关性,格林公式,曲线积分与路线的无关性,可见,验证格林公式的另一形式:,
