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1、4.2 平面向量基本定理及向量坐标表示,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考, 4.2 平面向量基本定理及向量坐标表示,双基研习面对高考,1平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_一对实数1，2，使a_. 其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_,不平行,存在唯一,基底,1e12e2,(2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对_叫作向量a的坐标，记作a_
2、，其中_叫作a在x轴上的坐标，_叫作a在y轴上的坐标 设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是_的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为_，反之亦成立(O是坐标原点),(x，y),(x，y),(x，y),y,点A,x,2平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘的运算,(x2x1，y2y1),该向量终点的坐标减去始点的坐标,b,x1y2x2y10,提示：不能，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2x2y10.,思考感悟,1(2009年高考广东卷)已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab( ) A平行于x轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于y轴 D平行于第二、四象限的角平分线
3、 解析：选C.ab(0,1x2)，平行于y轴,课前热身,2(2009年高考重庆卷)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是( ) A2 B0 C1 D2 答案：D,答案：C,答案：2或11,考点探究挑战高考,利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量,【答案】 x0且0xy1 【规律小结】 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运
4、算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则、三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解,变式训练1,利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标,【思路点拨】 建立直角坐标系，利用向量的坐标运算解答,【答案】 2 【思维总结】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解
5、题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,1凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件 2向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题,(2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_. 【思路点拨】 由向量平行的充要条件列出关于m的方程，然后求解 【解析】 a(2，1)，b(1，m)， ab(1，m1) (ab)c，c(1,2)， 12(1)(m1)0，
6、 m1.,【答案】 m1 【误区警示】 解答本题过程中，易将方程列成(1)12(m1)0即x1x2y1y20而出错，导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆,向量的坐标运算常在三角函数、解析几何等知识交汇点处命题，解答这类问题的关键是认真领会题中所给信息，并将所得的信息应用于题目中去，以解决实际问题,已知向量u(x，y)与向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示 (1)设a(1,1)，b(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标； (2)求使f(c)(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标； (3)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(m
7、anb)mf(a)nf(b)成立,【思路点拨】 本题关键是找出“函数”vf(u)的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题 【解】 (1)a(1,1)， f(a)(1,211)(1,1) 又b(1,0)， f(b)(0,201)(0，1),(3)证明：设a(a1，a2)，b(b1，b2)， 则manb(ma1nb1，ma2nb2)， f(manb) (ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1) mf(a)m(a2,2a2a1)， nf(b)n(b2,2b2b1)，mf(a)nf(b) (ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)， f(manb)mf(a)nf(b)
8、成立,方法技巧 1用向量解答几何问题的一般思路是：选择一组基底，运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量形式，再通过向量的运算来解答(如例1) 2向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算(如例2),方法感悟,3两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2), 则ab的充要条件是x1y2x2y10”比较简捷(如例3) 4对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知条件转化为方程或函数关系式解决(如例4),
9、1数学上的向量是自由向量，向量a(x，y)经过平移后得到的向量的坐标仍是(x，y) 2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(b0)的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同,失误防范,考向瞭望把脉高考,向量的坐标运算和向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又涉及到解答题，属于中低档题目，常与向量数量积运算交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用同时又注重对函数与方程、化归与转化等思想方法的考查 预测2012年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力,(2009年高考广东卷)若平面向
10、量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_. 【思路点拨】 利用ab平行于x轴，设出ab的坐标利用向量的坐标运算并分类讨论,命题探源,【解析】 ab平行于x轴，故可设ab(m,0)， 由|ab|1m21，故m1. 当m1时，a(1,0)b(1,0)(2，1)(1,1)； 当m1时，a(1,0)b(1,0)(2，1)(3,1) a(1,1)或(3,1) 【答案】 (1,1)或(3,1),【名师点评】 (1)本题易失误的是：模的坐标运算不知，不能将模的关系转化为坐标关系；不理解向量与x轴平行的含义 (2)在解决向量问题时，如果没有向量的坐标形式，可以引入坐标使抽象问题具体化其实，
11、向量的坐标运算是一种把其他运算转化为纯数字运算的有效途径，尤其是碰到几何问题时(一些涉及几何图形的向量试题，由于几何性质不能直接应用而使问题变得复杂难求，,如果能建立适当的坐标系，用代数式表示图形的性质，即图形数字化，以“数”解“形”，可使解题思路清晰，便于问题顺利解决)实际上，利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点，也就是要注意向量的方向,名师预测,2已知向量a(1,2)，b(2，m)且ab，则2a3b等于( ) A(2，4) B(3，6) C(4，8) D(5，10) 解析：选C.ab，m40，m4，b(2，4)， 2a3b2(1,2)3(2，4)(2,4)(6，12)(4，8),3已知a(1，1)，b(1,3)，c(3,5)，若cxayb，则实数x_，y_.,答案：7 4,4若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b_. 解析：设b(x，y)|ab|1，(x2)2(y1)21.又ab平行于y轴，x2，代入上式，得y0或2.b(2,0)或b(2,2) 答案：(2,0)或(2,2),
