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1、精锐教育学科教师辅导教案学员编号： 年 级：初三 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星 级教学目标1.掌握角平分线的性质和判定；2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题； 4.学习分析问题、解决问题的能力。授课时间教学内容 几何问题之角平分线题型1.掌握角平分线的性质和判定；2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题； 4.学习分析问题、解决问题的能力。1. 知识要点详解： 1.角平分线的性质定理：
2、（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）定理的数学表示：如图1，已知是的平分线，是上一点，若 于点，于点，则。 （3）定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 2.角平分线性质定理的逆定理： （1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）定理的数学表示：如图2，已知点在的内部，且于，于，若，则点在的平分线上。 （3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 （4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。3.关于三角
3、形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。定理的数学表示：如图3，如果、分别是的内角、的平分线，那么： 、相交于一点； 若、分别垂直于、于点、，则。定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题。（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.2. 角平分线定理使用中的几种辅助线作法
4、：（如下图示） 1.已知角平分线，构造全等三角形； 2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段； 3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。 三.角平分线性质定理之联想： 1.由角平分线的性质联想两线段相等； 2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形； 3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。模块一.角平分线的对称性：基本图形例题1例1.如图，是的角平分线，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。 【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这
5、一点进行判断。【解答】：，且证明：平分，垂足分别是在和中：在和中：，且。点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例题2如图，于，于，和交于点。求证：平分。【分析】：要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。【证明】：于，于在和中 又于，于平分。点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，那么得出平分这一结论是错误的。例题3例3
6、.如图，在中，平分，于，在上，。求证：。【分析】：由已知条件很容易得到；要证明，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。【证明】：平分，在与中。点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。1.如图，于，于，下列结论中错误的是() 2.如图，中，且，求的度数。3.已知：，求证：平分。【提示】过点作、，利用角平分线性质可得。4.如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。【证明】CD是的平分线，于，于，在和中 5. 如图，在中，为的中点，交的平分线于， 于，交延长线于。求证：【证明】连接、，由， ，平分， ， 6.如图，/，是的中点
7、，平分。求证：平分。【证明】：过点E作于F平分，又又，平分。角平分线性质定理的逆定理例题4如图，已知在中，。求证：平分。【分析】：有两种方法证明平分：一是直接利用定义证明；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。【证明】：过点D作于E，于F 在与中： 又于E，于F平分。点评：1.当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线；2.用角平分线证明线段相等或角相等时，常
8、常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。例题5如图，已知在四边形中，平分，为垂足。求证：。【证明】：延长AB，过C作，H为垂足平分，且，又，在与中： 又，在与中， 例题6如图1，中，垂足为。平分，交于点，交于点。（1） 求证：。（2） 将图2中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图2所示。试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论。 【解析】（1）证明: 平分. （2）解：. 证明：如图2，过点作于点. 又平分，. 由平移的性质可知：，. ，.于在与中，由（1）可知，.例题7（1）如图1所示，在中，是
9、的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由。 （2）如图2所示，是的内角平分线，其它条件不变，试比较与的大小，并说明理由。 【解析】（1），理由如下：在的延长线上截取，连接，如图1是的外角平分线，在和中，.，在中， （2），理由如下：在上取一点，使，连接，如图2平分，.，.在中，即，.7.如图，是上两点，是上两点，且，试问点是否在的平分线上？【证明】：过点P作于D，于E，而又 又于，于在的平分线上。8.如图，在中，的平分线交于点，过点作，垂足为，求证：.证明：如下图，延长交延长线于，取中点，连接. 平分，.是中点，.是中点，.， .， 是中点.【横向拓展】 9.求证：三角形的三条角平分线相交于一点。证明：如图，设角平分线与相交于点。点到三边、的距离分别是、在平分线上， 在平分线上， ，、是点到两边的距离，点在的平分线上、交于一点。 （*分钟）1. 本次课学习了角平分线的性质和判定2. 要会综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题3. 垂直平分线、等腰三角形、四边形知识要熟练应用（临下课前的结束语建议：）教师：你有哪些收获和感悟？ 14 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌
