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1、精锐教育学科教师辅导教案学员编号: 年 级:初三 课 时 数: 3学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师: 授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星 级教学目标1.掌握角平分线的性质和判定;2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题;3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题; 4.学习分析问题、解决问题的能力。授课时间教学内容 几何问题之角平分线题型1.掌握角平分线的性质和判定;2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题;3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题; 4.学习分析问题、解决问题的能力。1. 知识要点详解: 1.角平分线的性质定理:
2、(1)角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)定理的数学表示:如图1,已知是的平分线,是上一点,若 于点,于点,则。 (3)定理的作用:证明两条线段相等;用于几何作图问题; (4)角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线。 2.角平分线性质定理的逆定理: (1)角平分线性质定理的逆定理:在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 (2)定理的数学表示:如图2,已知点在的内部,且于,于,若,则点在的平分线上。 (3)定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 (4)注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。3.关于三角
3、形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。定理的数学表示:如图3,如果、分别是的内角、的平分线,那么: 、相交于一点; 若、分别垂直于、于点、,则。定理的作用:用于证明三角形内的线段相等;用于实际中的几何作图问题。(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.2. 角平分线定理使用中的几种辅助线作法
4、:(如下图示) 1.已知角平分线,构造全等三角形; 2.已知一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段; 3.已知角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段。 三.角平分线性质定理之联想: 1.由角平分线的性质联想两线段相等; 2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形; 3.过角平分线上一点作一边的平行线,构成等腰三角形。模块一.角平分线的对称性:基本图形例题1例1.如图,是的角平分线,垂足分别是。连接,交于点。说出与之间有什么关系?证明你的结论。 【分析】:两条线段之间的关系有长度和位置两种关系,因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形,此题可以利用这
5、一点进行判断。【解答】:,且证明:平分,垂足分别是在和中:在和中:,且。点评:通过此题我们知道,证明两条线段相等,除了利用全等三角形的性质外,还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时,“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例题2如图,于,于,和交于点。求证:平分。【分析】:要证平分,已知条件中已经有两个垂直,即已经有点到角的两边的距离了,只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等,可利用全等三角形的性质来证明。【证明】:于,于在和中 又于,于平分。点评:判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或,那么得出平分这一结论是错误的。例题3例3
6、.如图,在中,平分,于,在上,。求证:。【分析】:由已知条件很容易得到;要证明,只要证明其所在三角形全等即可,再由此去找全等条件。【证明】:平分,在与中。点评:掌握角平分线的性质和判定固然重要,但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。1.如图,于,于,下列结论中错误的是() 2.如图,中,且,求的度数。3.已知:,求证:平分。【提示】过点作、,利用角平分线性质可得。4.如图,是的外角的平分线上一点,于,于,且交的延长线于。求证:。【证明】CD是的平分线,于,于,在和中 5. 如图,在中,为的中点,交的平分线于, 于,交延长线于。求证:【证明】连接、,由, ,平分, , 6.如图,/,是的中点
7、,平分。求证:平分。【证明】:过点E作于F平分,又又,平分。角平分线性质定理的逆定理例题4如图,已知在中,。求证:平分。【分析】:有两种方法证明平分:一是直接利用定义证明;二是利用角平分线的判定,证明点D到角的两边距离相等。仔细观察,前者需要证明三角形全等,但此题使用全等条件中的“边边角”,无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形,其条件足以证明两个三角形全等。【证明】:过点D作于E,于F 在与中: 又于E,于F平分。点评:1.当题目中有角平分线这一条件时,解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线;当有垂线这一条件时,常作辅助线得到角的平分线;2.用角平分线证明线段相等或角相等时,常
8、常与证明三角形全等配合使用,证明时要先观察需证明的线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中。例题5如图,已知在四边形中,平分,为垂足。求证:。【证明】:延长AB,过C作,H为垂足平分,且,又,在与中: 又,在与中, 例题6如图1,中,垂足为。平分,交于点,交于点。(1) 求证:。(2) 将图2中的沿向右平移到的位置,使点落在边上,其它条件不变,如图2所示。试猜想:与有怎样的数量关系?请证明你的结论。 【解析】(1)证明: 平分. (2)解:. 证明:如图2,过点作于点. 又平分,. 由平移的性质可知:,. ,.于在与中,由(1)可知,.例题7(1)如图1所示,在中,是
9、的外角平分线,是上异于点的任意一点,试比较与的大小,并说明理由。 (2)如图2所示,是的内角平分线,其它条件不变,试比较与的大小,并说明理由。 【解析】(1),理由如下:在的延长线上截取,连接,如图1是的外角平分线,在和中,.,在中, (2),理由如下:在上取一点,使,连接,如图2平分,.,.在中,即,.7.如图,是上两点,是上两点,且,试问点是否在的平分线上?【证明】:过点P作于D,于E,而又 又于,于在的平分线上。8.如图,在中,的平分线交于点,过点作,垂足为,求证:.证明:如下图,延长交延长线于,取中点,连接. 平分,.是中点,.是中点,., ., 是中点.【横向拓展】 9.求证:三角形的三条角平分线相交于一点。证明:如图,设角平分线与相交于点。点到三边、的距离分别是、在平分线上, 在平分线上, ,、是点到两边的距离,点在的平分线上、交于一点。 (*分钟)1. 本次课学习了角平分线的性质和判定2. 要会综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题3. 垂直平分线、等腰三角形、四边形知识要熟练应用(临下课前的结束语建议:)教师:你有哪些收获和感悟? 14 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌