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1、随机事件与概率,随机事件及其运算,随机事件的概率,条件概率与事件的独立性,第一章,确定性现象与不确定性现象,随机现象的统计规律性,不确定性现象:(随机现象),确定性现象:,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数.,随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.,前,言,概率论是一门研究客观世界随机现象统计,规律的 数学分支学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,的
2、数学分支学科，并无从属关系.,学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列,概率论是数理统计学的基础，数理统计,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；
3、,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率,统计方法.,“ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在,实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作
4、为.,法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:,概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高,等学校各专业都开设了该课程，而且在上,世纪末，此课程特意被教育部定为本科生,考研的数学课程之一.,概率统计的思想：看待万事万物的一,种方法。通过比较概率的大小做决定,统计规律、统计决策。,第一章,随机事件及其运算,第一节,一、基本概念,二、事件之间的关系,三、事件之间的运算,四、事件的运算律,1.加法原理:,2.乘法原理:,如果完成某件事有m 种途径,而每种途,径有,种不同的方法,那么完成该件事共,种不同的方法.,有,如果完成某件事须经过 m 个步骤,而完,成每个步骤分别有,种不同的方法,那么完成该件事共,
5、有,种不同的方法.,3.重复排列:,从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素,(1rn),按照一定顺序允许重复出现排成一列,称为,从n 个元素取出 r 个元素的重复排列,排列总数为,预备知识,4.选排列:,预备知识,从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1rn),元素按照一定顺序不重复地排成一列,称为从 n 个元素,中取出r 个元素的选排列,记为,且有,5.全排列:,r = n 的选排列称为全排列,记为,且有,6.组合:,从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0rn),元素组成一组(不考虑次序),称为从 n 个元素中取出r个,元素的一个组合,记为,且有,1.随机试验:(E),可在相同条件下
6、重复进行,试验的所有可能结果明确可知，且不止一个,每一次试验的结果是不可预言的,由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.,其每个元素称为样本点.,2.样本空间:,对随机现象进行观察或试验.,一、基本概念,E1:,将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;,E2:,掷一颗均匀骰子,考虑可能出现的点数;,记录某网站一分钟内受到的点击次数;,E3:,例1.,记录他的身高(m)和体重(kg).,E4:,任选一人,写出下列试验的样本空间.,注:,样本空间是一个集合;,对于一个随机试验而言,样本空间并不唯一.,例如:,掷两枚均匀的骰子一次,若试验目的是观察出现的点数和:,若实验的目的是观察所有,可能出现的
7、结果:,4. 事件的发生:,5. 必然事件与不可能事件:,事件,集合,3. 随机事件：,样本空间的某个子集.,例如:,在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点,基本事件：,复合事件：,由一个样本点构成的集合,由多个样本点构成的集合,发生,所包含的某一个样本点出现,二、事件之间的关系,2.事件的相等:,1.事件的包含:,3.事件的互斥:(互不相容),A与B不能同时发生,注:,基本事件之间是互斥的;, 与任何事件互斥.,A 发生必然导致B发生,与B互斥.,即,则称A,则称A包含于B.,三、事件的运算,1.和:(并),或,2.积:(交),且,注:,和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.,A,B中至
8、少有一个发生的事件.,A ,B 同时发生的事件.,4.逆:(对立事件),称 A与B互逆.,注:,事件互斥与互逆的区别,且,注:,3.差:,A发生而B不发生的事件,则,称为A与B的差.,四、事件的运算律,3.对偶律：,（积的逆逆的和）,（和的逆逆的积）,2.分配律：,1.交换律、结合律:(略),例2.,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:,三个事件中至少一个发生:,没有一个事件发生:,（由对偶律）,恰有一个事件发生:,至多有两个事件发生:,（考虑其对立事件）,至少有两个事件发生:,不能从字面上理解事件的对立.,注:,第一章,随机事件的概率,第二节,一、概率的统计定义,二、古典概率,三、几何概率
9、,四、概率的性质,引 言,概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.,一、概率的统计定义,1.频率:,定义1:,在相同的条件下重复进行了N次试验,若A发生,了 次,则称 为A在N次试验中出现的频率.,独立重复地做N次试验,2.概率的统计定义:,定义2:,发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,生的概率.,当N很大时,若事件A,则称p 为A发,注:,概率是确定的,而频率与试验次数有关.,高尔顿板,二、古典概率,有限性,等可能性,1.古典型随机试验:,2.古典概率的定义：,若事件 中含有 个样本点,则称 为 发生的概率,定义3:,设古典型试验的样本空
10、间为,记为,例1.,从编号为,的10个同样的球中任取一个,解:,由题意知,问题归结为古典概率的计算,包含的样本点个数:,A包含的样本点个数:,则,B包含的样本点个数:,则,B=抽到奇数号球的概率.,A=抽到2号球，,求,例2.,掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.,解:,包含的样本点个数:,设A=出现点数和为8,则,A包含的样本点个数:,思考:,能否取,为什么?,(不能，因为基本事件不是等可能的),解:,设 A=恰有一双配对,则,或,求：,至少有一双配对的概率.,例3.,(2)设B=至少有两只鞋子配成一双,则,其中恰有一双配对的概率；,从6双不同的鞋子中任取4只，,不能，因为取到两双
11、部分重复了一次，,某一次取法：,第3双，,第4双,另一次取法：,第4双，,第3双,B包含的样本点个数应为,思考:,B包含的样本点个数能否为,为什么?,比如：,2.古典概率的性质:,非负性：,对任意A，,规范性：,可加性：,若A和B互斥，,则,重复！,三、几何概率,无限性,等可能性,1.几何型随机试验:,2.几何概率的定义：,在几何型随机试验中,定义事件A发生的概率为,例4.,如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平,方公里的大陆架贮藏着石油,若在海域里随意选取一点,钻探,解:,由题意知,设A=钻到石油,则,问钻到石油的概率是多少？,问题归结为几何概率的计算,则会面的充要条件,这是一几何概
12、率问题,(7点设为零时刻),所求概率,点为图中阴影部分,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,例5.,（会面问题）,两人相约7点到8点在,先到者等候另一人20分钟后就,试求这两人能会面的概率？,解:,以 分别表示两人到达时刻,能会面的,可离去，,某地会面，,四、概率的性质,(1)有限可加性：,即,则有,(3)单调性：,(2)事件差：,A,B是两个事件,;,(4)加法公式：,对任意两事件,有,(5)互补性：,(6)可分性：,对任意两事件,有,注:,;,故,例6.,(1)取到的数能被2或3整除的概率;,(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率;,(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率
13、.,B=能被3整除,解:,设A=取到的数能被2整除,则,求,在110这10个自然数中任取一数,例7.,个数字之积能被10整除的概率?,从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,求这n,解:,设A=取出的这n个数字中含有数字5,B=取出的这n个数字中含有偶数字,则,第一章,条件概率与事件的独立性,第三节,一、条件概率,二、乘法公式,三、全概率公式及贝叶斯公式,四、事件的相互独立性,某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?,则,A:“家中至少有一个女孩”,B:“家中至少有一个男孩”,从而,引 言,已知某家庭中有两个孩子,引例:,1.定义:,且 ,称,为在B发生的条件下A发生的条件概率.,注:,对于
14、事件A,B,一、条件概率,2.性质:,例1.,第二次抽到次品的概率.,设10件产品中有3件次品,现无放回的抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,解:,则,第i 次抽到次品,注:,区分条件概率与两事件同时发生概率的不同.,求,二、乘法公式,设,若,则,若,则,一般地,设,若,则,设口袋中有a只白球、b只黑球，,第二次取出的是白球的概率.,解:,第i次取到白球,i=1,2,(验证抓阄的科学性),例2.,无放回取球，,求,类似地:,盒子里有n个球，,问第i个人取到黑球的概率.,解:,第i个人摸到黑球,i=1,2,n,(摸奖问题),例3.,n个人,其中n-1个白球，,1个黑球.,依次取一个球,不放回.,
15、(摸到大奖的概率几乎为0),三、全概率公式和贝叶斯公式,完备事件组).,1.完备事件组:,若满足：,则称 为 的一个分割,(或称为 的一个,2.全概率公式:,且,有,称为全概率公式.,则对,例4.,设某工厂有三个车间, 生产同一种产品,解：,设B表示取到得产品为次品；,表示取到第i个车间的产品.,一,二,三,次品率:,0.05,0.03,0.01,产量:,2500,2000,1500,混合后从中任取一件,求该产品为次品的概率.,3.贝叶斯公式：,称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).,且,有,则对,若,个分割,例5.,临床上统计患非典的可能性分别为,“仅发热”,“仅干咳”,“既发热又干咳”,“无上述现象”,现对某疫区25000人检查发现：,“仅发热”500人，,“仅干咳”1000人，,“既发热又干咳”250人，,疫区中任取一人，他为“非典”患者的概率;,“非典”患者中临床表现为“仅发热”病人的概率.,检验“非典”：,求,C=既发热又干咳的病人,D=无明显症状的人，,E=得了“非典”,由全概率公式得：,由贝叶斯公式得：,解：,设,A=仅发热的病人，,B=仅干咳的病人，,已知,例6.,商店论箱出售玻璃杯，,每箱20只，,其中每箱含有,0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，,
