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1、淮北师范大学 2013届学士学位论文 泰勒公式在近似计算中的研究学院、专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 计算数学 学 生 姓 名 白 冰 学 号 20091101001 指导教师姓名 王福章 指导教师职称 讲师 2013 年 3 月 23 日摘 要泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文论述了泰勒公式的一些基本内容，主要采用举例分析的方法，讨论了泰勒公式在近似计算方面的应用及技巧。通过本文的论述，可知泰勒公式可以使近似计算问题的求解简便。关键词： 泰勒公式，近似计算，应用AbstractTaylors for
2、mula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of the calculus approximation of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This paper discusses some of the basic content of the Taylor formula, mainly using the example analysi
3、s, the Taylor formula in the approximate calculation and skills. Through the discussion of this article, we can see the Taylor formula can approximate calculation problem solving is simple.Key words: Taylors formula, Approximate calculation, Applications, 目录第一章 前 言1第二章 预备知识22.1 Taylor 公式22.2 Taylor
4、公式的各种余项3第三章 泰勒公式在近似计算中的应用63.1 近似计算估值63.2 定积分的近似计算8结论11致谢12第一章 前 言随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法1。泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便。如果将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了。这就使我们考虑可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此，有很多科学家和学者对此做出
5、了重要的贡献。首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的。泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式2。随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式。现代也有很多期刊和教材介绍了泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要的作用，它可以应用于就极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面3。本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式。在此基础上，研究泰勒公式在近似计算中的应用方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题
6、解答和文字说明,以便于读者更好地去理解。0第二章 预备知识 上一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的。给定一个函数在点处可微，则有：这样当时可得近似公式或 ，即在点附近，可以用一个的线形函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决：（1） 近似的程度不好，精确度不高。因为我们只是用一个简单的函数一次多项式去替代可能是十分复杂的函数。（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就需要用新的
7、逼近方法去替代函数。在下面这一节我们就来设法解决这两个问题。2.1Taylor公式 首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令 （2.1）从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线去替代，而是想用一条次抛物线去替代它。我们猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些那么系数，如何确定呢？假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有于是得：求一次导数可得：再求一次导数可得：这样进行下去可得：， ，.因此当是一个次多项式时，它就可以表成： ,（2.2）即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数值去计算通过这个特
8、殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式,称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数 ，称为泰勒系数。因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身。2.2 Taylor公式的各种余项对于一般的函数，其次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点附近能近似地用它在点的次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的。定理 14 (带拉格朗日型余项的Taylor公式)假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为其中为与间的一个值.即有 (2.3) 推论1 当，（2.3）式即为拉格朗
9、日中值公式：所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广。 推论2 在定理1中,若令则称为一般形式的余项公式, 其中。在上式中，即为拉格朗日型余项。若令，则得,此式称为柯西余项公式。当，得到泰勒公式：， （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。定理 2 （带皮亚诺型的余项的公式） 若函数在点处存在直至阶导数，则有，则当时，即有 （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数在点处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中时，可得到 （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公
10、式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用。 由于，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段。这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算这在后面的应用中给以介绍。定理 35 设，函数在内具有阶连续导数，且，在内的泰勒公式为 （2.7）则证明：在内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出，从而，令，得，故. 由上面的证明我们可以看得出，当趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好。第三章
11、 泰勒公式在近似计算的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，以及用这些值表示动点处的函数值。泰勒公式是函数逼近思想的一个重要应用，在数值计算中也有着非常广泛的应用6。本章研究泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 8,其误差是余项。3.1 近似计算估值由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些数值的近似值。泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数相联系起来。例 1 设函数在上存在二阶导数,并且当时,有,证明：, . 7证明 对 ,由泰勒
12、公式, 将在展开为： 将在展开为： 两式相减得 从而有 所以 .例 2 求的近似值.解 ：令 ,则 所以 从而 1+ 故 从而 = 例 3 计算lg11的值,准确到 . 解: 因为 ，, 要使 取，故 例 4 计算的值，使其误差不超过. 8解：,由,得到 有:故 ,当时,便有从而略去而求得的近似值为3.2 定积分的近似计算能够精确计算定积分的函数知识大量函数中很少的一部分，事实上，在实际计算定积分时大量采用的是近似计算的方法，而在这其中运用泰勒公式对某些函数的定积分进行近似计算不失为一种很好的方法9。设为的原函数，由牛顿莱布尼兹公式知，对定义在区间上的定积分，有：但是，并不是区间上的所有可积函
13、数的积分值计算都可由牛顿莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数、等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。例 5 求定积分的近似值. 分析：由于被积函数的原函数不是初等函数，用牛顿-莱布尼兹公式无法求出其精确的解。若用泰勒展开，就能方便的求得其近似解。解：由泰勒公式得 故有 所以由牛顿-莱布尼兹公式 因为, 故例 6 求定积分的近似值,精确到.10解： 因
