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1、2 微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由f（x）=x=0，f（y）=y=0；可得平衡点为（0,0），系数矩阵，求得特征值1=1，2=1；p=-(1+2)=-20；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0），特征值1=-1，2=2；p=-(1+2)=-10，q=12=-20；对照稳定性的情况表，可知平衡点（0，0）是不稳定的。其图形如下：（4）如上题可求得平衡点为（1,0），特征值1=-1，2=-2；p=-(1+2)= 3
2、0，q=12=20；对照稳定性的情况表，可知平衡点（1，0）是稳定的。其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：由题意很容易列出N满足的微分方程：令=0，可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=进而求得令可求得N=则N=N1，N=N2，N=可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分别有；。则可以画出N（t）的图形
3、，即微分方程的解族，如下图所示：由图形也可以看出，对于方程的两个平衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=是稳定的。3、有限资源竞争模型1926年Volterra提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型假设，称为物种i对食物不足的敏感度，（1）证明当x1(t0)0时，物种2最终要灭亡;（2）用图形分析方法来说明物种2最终要灭亡.解：（1）由上述方程组f（x1）=0，f（x2）=0，可得方程的平衡点为P0（0,0），P1（,0），P2（0, ）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵则p=-（b1+b2）0，可以得出p0,q0,因此该平衡点是稳定的。即时，说明物种2最终要灭亡。对平衡点P2（0,
4、 ），同理可以得到q0的条件下，物种2最终要灭亡。（2）对于线性方程组在平面上匹配两条直线l1和l2，由题意，x1(t0)0，可将第一象限分为三个区域。在最左边区域，都大于0；在中间区域，都小于0，在最右边区域，分别是大于0和小于0.，由各区域中的取值可得到如下图形：由图也可以看出，随着时间的增加，物种1最终能达到稳定值，物种2最终要灭亡。4、蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中=10，=28，=8/3，且初值为,x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=，为一个小常数，假设=10-10，且0t100。（1）用函数ode45求解，并画出x2x1,x2x3,x3x1的平面图；（2）适当地调整参
5、数，值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。解：（1）编写Lorenz函数，function xdot=lorenz1(t,x,b,a,c)xdot=-b*x(1)+x(2)*x(3); -a*x(2)+a*x(3); -x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3);对各参数赋值并用ode45函数求解，可得数值解：Columns 1 through 9 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.5352 0.5705 0.6057 0.6409 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.00
6、00 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 Columns 10 through 18 0.6761 0.7114 0.7466 0.7818 0.8308 0.8797 0.9286 0.9776 1.0105 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0
7、.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 19 through 27 1.0434 1.0763 1.1092 1.1421 1.1750 1.2079 1.2409 1.2797 1.3186 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
8、 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 Columns 28 through 36 1.3575 1.3964 1.4246 1.4528 1.4810 1.5092 1.5374 1.5656 1.5938 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.00
9、29 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012 0.0016 0.0023 0.0032 0.0045 0.0063.Columns 5590 through 5598 99.5751 99.5921 99.6090 99.6260 99.6462 99.6664 99.6867 99.7069 99.7338 16.9457 16.5261 16.2010 15.9854 15.8978 16.0348 16.4476 17.1933 18.7894 -3.3551 -3.7119 -4.1098 -4.5568 -5.1636 -5.8601 -6.6527 -7.5438
10、-8.8677 -5.3476 -5.9274 -6.5941 -7.3519 -8.3766 -9.5370 -10.8209 -12.1944 -14.0725 Columns 5599 through 5607 99.7608 99.7878 99.8148 99.8306 99.8465 99.8623 99.8782 99.8940 99.9099 21.2186 24.4709 28.2629 30.5354 32.6533 34.4645 35.8466 36.7149 37.0528 -10.3044 -11.7459 -12.9932 -13.5361 -13.8800 -1
11、3.9854 -13.8351 -13.4302 -12.7919 -15.7415 -16.8309 -16.9274 -16.3648 -15.3302 -13.8707 -12.0805 -10.1013 -8.1005 Columns 5608 through 5613 99.9257 99.9416 99.9562 99.9708 99.9854 100.0000 36.8957 36.3239 35.5248 34.5435 33.4481 32.2971 -11.9606 -10.9899 -10.0237 -9.0332 -8.0563 -7.1223 -6.2187 -4.5
12、596 -3.2818 -2.2590 -1.4835 -0.9275x2x1,x2x3,x3x1的平面图分别如下：（2）令参数，值各减1，初始值x1（0），x2（0）不变，x3（0）=10-8分别得到得到x2x1,x2x3,x3x1的平面图如下：可以看出，参数，值各减1，初始值x1（0），x2（0）不变，x3（0）数值变为x3（0）=10-8，参数和初始值很小的改变，就会导致最后图形发生很大的变化。5、用微分方程考察共振现象设物体沿x轴运动(如图所示)其平衡位置取为原点0，物体的质量为1，在时间t物体的位置为x(t)其所受的恢复为(如弹性力等)与物体所在位置的坐标成正比，即k2x,其中常数k称为恢复系数，运动过程所受的阻力(由于介质及摩擦等)设与速度成正比，即，h0，称为阻尼系数。（1）根据Newton第二定律，建立相应的微分方程.不妨设初始位置为1，初始速度为0,取k=2, h=0(当h = 0称为简谐振动的方程)和h=0.1，用Matlab软件得到相应的数值解，并在t-x平面上画出x（t）的图形。（2）如果物体还受到附加外力的干扰，且外力是一个依据时间t的函数f(t)(设f (t)=B sinw
