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1、专题31 数形结合之-简单线性规划【热点聚焦与扩展】 从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题.（一）简单线性规划问题1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点
2、唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况： 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域.例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者
3、利用象限进行判断.例如：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中.（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数） 线性表达式与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值
4、相关. 分式与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率. 含平方和与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方.（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取.（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值
5、的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.（二）非常规线性规划问题解答策略第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算.【经典例题】例1. 【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】例2. 【2017课标3，理13】若，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】 【解析】【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域
6、且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.例3. 【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以故选A例4.【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数满足约束条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B例5.【2018届宁夏银川市第二中学二模】设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2与1关
7、于直线3x4y90对称对于1中的任意点A与2中的任意点B，|AB|的最小值等于()A. B. 4 C. D. 2【答案】B【解析】分析：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值详解：故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.例6.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测（
8、七）】若不等式，表示的平面区域为三角形且其面积等于，则的最小值为（ ）A. -2 B. C. -3 D. 1【答案】A【解析】分析：先做出不等式组对应的平面区域，求出三角形的各顶点坐标，利用三角形的面积公式确定值，再利用平移目标函数直线确定最优解详解：作出不等式组表示的平面区域（如图所示），由图象，得当直线过点时，取得最小值为.故选A例7【2018届湖南师范大学附属中学高三月考六】已知满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为( )A. 或-1 B. 2或 C. -2或1 D. 2或-1【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线的斜率的变换，
9、从而求出的值.详解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则直线与直线平行，此时；综上或，故选C.例8.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知，若存在点，使得，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C例9.【2018届山西省孝义市一模】已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（ ）A
10、. B. C. D. 【答案】C由可解得，即B（2，1）此时有1=|21|+m，解得m=2；由可解得，即B（1，1）此时有1=|11|+m，解得m=1；故实数m的取值范围为2，1，故答案为2，1故选C.例10.【2018届北京市海淀区二模】两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：小区小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有_人.【答案】【解析】分析：设两区参加活动同学的人数分别为，受到
11、服务的老人人数为，找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域,平移直线可求得满足题设的最优解.详解：当时，取得最大值为，即接受服务的老人最多有人，故答案为.【精选精练】1.【2018届辽宁省丹东市模拟二】若点满足不等式组，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中，进而利用，即，转化为区域内的点和定点连线的斜率即可.详解：故选A.2.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A. 12 B. 11 C. 10 D. 9【答案】A【解析】分析：由约束条件画出可行域，根据可行域，利用,
12、可逐一写出满足条件的点，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，由图可知，满足，得，共有，共个，故选A.3.【2018届陕西省咸阳市三模】已知实数，满足给，中间插入5个数，这7个数构成以为首项，为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：实数x，y满足，如图所示，画出可行域ABC给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和=，令x+y=t，则y=x+t利用线性规划因此这7个数和=的最大值为，故答案为：D4【2018届相阳教育“黉门云”高考模拟】已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（ ）A. 2 B. 1 C
13、. D. 【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.5【2018届第三次全国大联考】已知不等式组表示的平面区域为，若以原点为圆心的圆与无公共点，则圆的半径的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知当圆的半径小于原点到直线的距离或大于时，圆与无公共点，而原点到直线的距离为，故圆的半径的取值范围为.6【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C|xy|的几何意义：表示区域内的点到直线xy=0的距离的倍，由
14、图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大，所以|xy|的最大值为故答案为：C点睛：本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义，|x-y|它表示区域内的点到直线xy=0的距离的倍，利用数形结合分析解答，可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中，看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.7【2018届广东省佛山市检测二】已知，设满足约束条件，且的最小值为-4，则 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C故选C.8.【2018届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.9.【2019届高考全程训练】
