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1、.电动力学第六章：狭义相对论杨焕雄中国科学技术大学物理学院近代物理系June 22, 20131/149.参考系问题：电磁现象的基本规律是Maxwell方程组和外电磁场之Lorentz力作用下带电粒子的Newton第二定律。例如在真空中，它们分别写为：x72 x7EE x1Ax0F0 x3B x72 x7EE Btx7EB 0 x3Bx72 x7EB 0 x3B x72 x7EB x0F0 x160 Btx7EE x160 x7EJx3A和dx7Epdt qpx7EE x7Eu x7EBqx3A需要回答的问题是：.1这些方程直接适用于什么参考系？.2若观测者从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考
2、系，Maxwell方程组和上述描写带电粒子在电磁场中动力学的Newton第二定律会不会发生改变？如何改变？.3基本电磁场量x7EE与x7EB如何随参考系的不同选择而改变？2/149.光速的参考系问题：Maxwell方程组的参考系问题可以换一个角度提问。回忆第四章内容，从真空中的Maxwell方程组出发，可以证明电磁场的基本存在形式是电磁波：x722 x7EE 1c2 B2 x7EEBt2 0 x3Bx722 x7EB 1c2 B2 x7EBBt2 0 x3A式中，c 1?x160 x0F03 10 8米/秒是真空中电磁波的传播速度。令人迷惑的是：为什么它是一个常数？换句话提问：.c 1 ?x1
3、60 x0F0是电磁波相对于哪一个参考系而言的？3/149.狭义相对论的实验基础：Newton时空观认为：真空中电磁波的传播速度只有在某个特殊的参考系(aether)才等于c.若能够测定各个方向上光速的差异，就可以确定地球相对于aether的运动。.数量级估计：.地球绕太阳公转的速率约为30km/s，因此，地球相对于aether参考系的运动速度至少应与此具有同一数量级。Michelson-Morley实验(1887)是测量光速沿不同方向的差异的典型实验。4/149.地球的公转速度：太祖兔的七律“送瘟神”(1962)中，有如下两句诗涉及到了自然科学：.坐地日行八万里，巡天遥看一千河。这两句诗说的
4、是由于地球自转，地球人即使坐着不动，一天也会走过D 4 10 4 km的路程。那么地球绕太阳的公转呢？查物理手册知，地球与太阳之间的距离是：R 1 x3A5 10 8 kmx3B所以，地球公转的线速度量值估算如下：v 2 x19RT 2 3 x3A14 1 x3A5 108360 24 60 60 30 km/s如此，地球人在地球公转轨道上每天走过的路程大约是：S vt 30 24 60 60 2 x3A62 10 6 km5/149.经典速度合成：现在用经典速度合成法则计算电磁波沿两条光路M M1 M与M M2 M的传播时间。如图示，cvux7Ev为观测者相对于aether的运动速度；x7E
5、u为观测者参考系所测得的光速，设其与牵连速度x7Ev之间的夹角为x12；x7Ec是aether参考系中的光速。按照经典的速度合成法则，应有：x7Ec x7Eu x7Evx3A所以，c2 u2 v2 2 uvcosx12由此求得观测者所测得的光速的大小为：u ac2 v2 sin2 x12 vcosx126/149. Michelson-Morley实验：设观测者相对于aether参考系的运动速度沿着光路M M1 .这样，光线M M1 M的传播时间为：t1 lc v lc v 2 clc2 v2 2 lc1 v2c2而光线M M2 M的传播时间是：t2 2 l?c2 v2 2 lc1 v22 c
6、2两束光线的光程差为：cpt1 t2 q lv2c2把仪器转动90 o，使两束光位置互换，理论上预计应该观测到干涉条纹的移动个数是：N 2 cpt1 t2 qx15 2 lx15 v2c27/149.否定的实验结果：Michelson-Morley实验设定：.1利用多次反射技术可以使有效臂长达到l 10m;.2假定地球相对于aether的速度大小与地球的公转速率具有同一量级，使得：pvcq2 10 8 ;.3取钠黄光做实验，x15 5 10 7 m如此，经典理论预计的干涉条纹移动数目是：N 2 lx15pvcq2 20 1085 10 7 0 x3A4但是，实验结果是否定的：N 0 x3A01
7、 x3A8/149.光速不变假设的实验基础：迄今为止的所有实验，都指出光速与观测者所处的参考系无关，也与光源的运动速度无关：Michelson-Morley实验(1887).Cedarholm微波激射实验(1955), v 3 10 2 km/sIsaak利用穆斯堡尔效应所做的实验(1970), v 5 10 5 km/s所以，光速的参考系选择无关性(俗称光速不变)是电磁现象的一条基本规律。狭义相对论就是在光速不变性实验的基础上建立起来的。9/149.狭义相对论的基本原理：Einstein(1905)提出了两条相对论的基本假设：.1相对性原理。所有惯性系都是等价的，物理学规律对于所有惯性系都可
8、以表为相同形式。.2光速不变原理。真空中的光速相对于任何惯性系均为c,光速与光源的运动无关。.相对论时空观：.光速不变性所导致的时空概念与经典时空观之间存在着深刻的矛盾。所有最基本的时空概念，如同时性、距离、时间、速度等概念都需要在光速不变性的假设之上重新讨论。10/149. Galileo变换：Newton时空观集中反映在惯性参考系的Galileo变换中。设惯性系 1相对于另一惯性系 以速度x7Ev运动。建立Cartesian直角坐标系，并选x和x1轴沿运动方向。Galileo变换可表为：x1 x vty1 yz1 zt1 t0vOO0xx0y y0zz0.Newton时空观的基本特征是时间
9、与空间的分离。时间在宇宙中均匀流逝着，而空间则好像是一个容器，二者之间没有联系，也不与物质的运动发生关系。11/149.事件：与Newton时空观类似，相对论的时空观也是集中反映在从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的时空坐标变换式里。这个坐标变换称为Lorentz变换。以下我们将从相对论的基本原理出发建立Lorentz变换。为此，先引入一个新概念：事件(event)。物质运动可以看作一系列事件的发展过程。事件可以有各种不同的具体内容，但是它们总是在一定地点于一定时刻发生的。因此，我们用四个坐标pxx3Byx3Bzx3Btq代表一个事件。同一事件在惯性系 上用pxx3Byx3Bzx3Btq表达，
10、但在另一惯性系1中就用px1x3By1x3Bz1x3Bt1q表达。Lorentz变换就是同一事件在不同惯性系的两组坐标pxx3Byx3Bzx3Btq和px1x3By1x3Bz1x3Bt1q之间的联系。这个联系一方面要符合相对论的基本原理，另一方面必须是线性变换。12/149.线性变换：.Question:惯性系之间的坐标变换为什么必须是线性的？按照相对性原理，惯性系 与 1应该是平权的：若某质点相对于 做匀速直线运动，x7Erptq x7Er0 x7Eut，则其相对于 1亦应做匀速直线运动：x7Er1pt1q x7Er10 x7Eu1t1x3A可以证明(见刘辽等教授的著作狭义相对论之附录)，在
11、平直时空中，保持质点匀速直线运动方程形式不变的坐标变换只能是线性变换。通常取初始时刻(t t1 0)惯性系 与 1完全重合。这样，二者之间的坐标变换的一般形式就是:x1i aijpx7Evqxj bipx7Evqtt1 cipx7Evqxi dpx7Evqt这里的x7Ev代表二惯性系的相对速度。13/149.事件间隔：为了计入光速不变原理对时空坐标变换的限制，再引入事件间隔的概念。设两事件在惯性系 中的坐标分别为px1 x3By1 x3Bz1 x3Bt1 q和px2 x3By2 x3Bz2 x3Bt2 q，则二者的间隔定义为：s2 c2 pt1 t2 q2 px1 x2 q2 py1 y2 q
12、2 pz1 z2 q2.1若两事件在同一地点相继发生，则：s2 c2 pt1 t2 q2 .2若两事件同时发生于不同地点，则：s2 px1 x2 q2 py1 y2 q2 pz1 z2 q2 .3设二事件在惯性系 1上的坐标分别为px11 x3By11 x3Bz11 x3Bt11 q和px12 x3By12 x3Bz12 x3Bt12 q.如此， 1系中的观察者所测得的事件间隔将是：s12 c2 pt11 t12 q2 px11 x12 q2 py11 y12 q2 pz11 z12 q214/149.间隔不变性, 1考虑甲乙两个事件：甲事件在 系中的坐标为p0 x3B0 x3B0 x3B0
13、q，乙事件在 系中的坐标为pxx3Byx3Bzx3Btq.如此， 系中甲乙二事件之间的间隔是：s2 c2 t2 x2 y2 z2现考虑甲乙二事件在另一惯性系 1中的间隔。设 1相对于 的运动速度为x7Ev，且在初始时刻(t t1 0)二惯性系重合。这样，甲乙二事件在 1系中的坐标分别为p0 x3B0 x3B0 x3B0 q和px1x3By1x3Bz1x3Bt1q，相应的间隔是：s12 c2 t12 x12 y12 z120vOO0xx0y y0zz015/149.间隔不变性, 2.Question: s2与s12之间有何关系？.1倘若甲乙二事件是通过光讯号相联系，按照光速不变原理，则有：s2
14、0 x3B s12 0 x3A.2因此，在一般情形下，s12 fpx7Evx3Bs2 q 8n 1fnpx7Evqps2 qn其中系数fnpx7Evq可以是牵连速度x7Ev的函数，且fnp0 q x0En1 .只有这样才能保证光讯号的间隔在两个惯性系中均为零。.3平直时空中惯性系之间的坐标变换只能是线性变换，所以：fnpx7Evq Kpx7Evqx0En1 ,s12 Kpx7Evqs2 Kp0 q 1.4二惯性系是平权的。因此，交换 与 1后上式应修正为：s2 Kp x7Evqs12 Kp x7EvqKpx7Evq 116/149.间隔不变性, 3因为空间中不存在特定的方向，比例因子Kpx7E
15、vq只可能依赖于牵连速度的绝对值，Kpx7Evq Kp x7Evq Kpvq所以，Kpx7Evq 1然而取负值将违反因果律及坐标变换的连续性。注意到：Kp0 q 1，我们有： Kpx7Evq 1.Conclusion:于是，两个事件的间隔不因惯性系选择的不同而不同，s12 s2这个结论称为间隔不变性。17/149. Lorentz变换, 1现在研究同一时空点在不同惯性系 和 1之间的坐标变换。我们的出发点是：.1变换的线性；.2间隔不变性。为简单计，暂设两坐标系的xpx1q轴都沿1相对于 的运动方向。此情形下，期待的Lorentz变换具有如下特殊形式：x1 a11 x a12 cty1 yz1 zct1 a21 x a22 ct0vOO0xx0y y0zz0由于x轴与x1轴正向相同， a11 0 x3A同理，通常取时间t和t1的演化箭头方向相同， a22 0 x3A18/149. Lorentz变换, 2将预期的Lorentz变换代入到间隔不变性的表式s2 s12中，则有：c2 t2 x2 y2 z2 s2s12c2 t12 x12 y12 z12pa21 x a
