离散时间系统与z变换

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1、第二章 离散时间系统与z变换 2.1 2.1 取样和内插取样和内插 2.2 2.2 离散时间信号序列离散时间信号序列 2.3 2.3 离散系统及其普遍关系离散系统及其普遍关系 2.4 2.4 离散信号的傅氏变换离散信号的傅氏变换 2.5 2.5 离散信号的离散信号的 z z 变换变换 2.6 2.6 单边单边 z z 变换变换 2.7 2.7 z z变换与傅氏变换的关系变换与傅氏变换的关系 2.8 2.8 系统的时域分析与频域分析系统的时域分析与频域分析 2.1 取样和内插 1.取样 将连续信号变成离散信号有各种取样 方法，其中最常用的是等间隔周期取样， 即每隔固定时间T取一个信号值，如图2-

2、1 所示。其中T称为取样周期，T的倒数称为 取样频率或取样率。记为 f f S S =1/=1/T T 图2-1 连续信号的取样 取样定理Shannon定理 任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高 频率分量为fm，则当对它进行取样时，只 要选择取样率等于或大于2fm ，就可以由这 个取样序列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t) 。 设有一限带信号xa(t)。当| max， 它的付氏变换为Xa()。将xa(t)乘一取样函 数p(t) 就得到xa(t)，如图2.2所示。 图2-2 连续信号取样的数学模型 图2-5 取样过程的时域与频域关系 最后需要说明一点：上述取 样定理是理想取样，如果取样

3、函 数不是单位冲击函数序列，而是 窄脉冲函数序列，则如图2-6所示 (详细情况请参看相关资料)。 图2-6 理想取样和非理想取样的比较 2.内插 用大于奈奎斯特取样频率取样 限带信号xa(t)，则被取样信号xa(t) 通过理想低通滤波器，只要其截止 频率c满足 maxc(smax) 时，就可以恢复出原来信号， 如图2-8所示。 图2-8 取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数 图2-9 连续信号的内插表示 图2-10 连续信号用三角形内插函数 3. Matlab实现 (1) 零阶和一阶保持内 插 (2) 三次样条内插 2.2 离散时间信号序列 1.离散时间信号 离散时间信号是在离散的时 间上

4、取值，在两个取样间隔内数 值为零的信号。 2.常用序列 (1) 单位取样序列 单位取样序列的定义为 其图形如图2-15所示。 图2-15 单位取样序列 (2) 单位阶跃序列 单位阶跃序列的定义为 其图形如图2.16所示。 图2-16 单位阶跃序列 (3) 矩形序列 矩形序列的定义为 其图形如图2-17所示。 图2-17 矩形序列 (4) 实指数序列 实指数序列的定义为 x(n)=an 其中a为不等于零的任意实数。 图2-18是0a1的一个实指数 序列的图形。 图2-18 实指数序列 (5) 正弦序列 正弦序列的定义为 x x( (n n)=)=sinnsinn 0 0 其图形如图2-19所示。

5、 图2-19正弦序列 2.3 离散系统及其普遍关系 1.离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列 x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运 算。亦即将一个序列变换成另一个序列的 系统，记为 y y( (n n)=)=T Tx x( (n n) ) 通常将上式表示成图2-20所示的框图 。 图2-20 离散系统的模型 2.线性非移变系统 (1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性， 即若对两个激励x1(n)和x2(n)有 (2) 系统的非移变特性 系统的非移变是指系统的参数不随时 间而变化。用数学表示为 Tx(nn0)=y(nn0) 即不管输入信号作用的时间先后，输 出

6、信号响应的形状均相同，仅是出现的时 间不同，如图2-22 所示。 图2-22 离散系统的非移变特性 (3) 线性非移变系 统 线性非移变系统就是既满足迭加 原理又具有非移变特性的系统，将其 描绘如图2-24所示。 图2-24 线性非移变系统模型 (4) 线性卷积的计算 计算线性卷积有4种方法。 利用两个序列的解析式直接计 算式(2-34)。 利用两个序列的移位求和，即 先把一个序列倒置。每次将它向下移 一步，求出两序列重叠部分乘积之和 。 用作图法求。 卷积的Matlab实现 3.系统的稳定性与因 果性 (1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界 时，其输出也是有界的，则称它是稳定 系统。

7、用数学描述则为 如果x(n)对于一切n 则y(n)对于一切n 因为 其中假设x(n)M。 2因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在 输入变化之前，则称它是因果的。这就是 说对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时， x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个 线性非移变系统当n0时的因果充要条件是 其单位取样响应等于零,即 h(n)=0n0 这个充要条件可以从y（n） x(n)*h(n) 的解析式中导出。 4.系统的差分方程描述 (1) 非递归型(FIR) 非递归型因果系统是输出的现在值仅仅 取决于输入的现在值与输入的过去值的系统 。非递归，即输出对输入无反馈。因

8、此，设 在n时刻输入x(n)与输出y(n)的关系为 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), 若系统是线性非移变的，y(n)可表示为 (2) 递归型(IIR) 递归型因果系统输出的现在值不仅取 决于输入的现在值与过去值，还取决于输 出的过去值。 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), +g,y(n-1),y(n+1), 同理，在系统为线性、非移变、 因果时，可推得 2.4 离散信号的傅氏变换 1.问题的提出 对于连续信号xa(t)与其频谱Xa() 之间存在着傅氏变换关系，如图2-28 所示。前边已经讨论了连续信号xa(t)的 离散化，即取样的问题，已经知道取 样序列的

9、频谱是原信号频谱在轴上的 周期延拓，如图2-28(b)所示。 图2-28连续和离散信号的傅氏变换 2.傅氏变换对的推导 从2.1节的讨论知道，对连续信号在时 域内进行取样的结果，是频域内频谱周期 的延拓，并且还得到了已取样信号xa(t)在 频域内的表示，现重写为 3.线性非移变系统的频率 响应 从2.3节的讨论得到线性非移变离散系 统的输入输出关系为 对上式两边同时进行傅氏变换得 4.离散信号傅氏变换的 性质 首先定义两种序列，共轭对称序列与 共轭反对称序列。 (1) 序列的卷积特性 序列的卷积特性是时域内的卷积关系 映射到频域内为相乘，即 (2) 序列傅氏变换的 周期性 序列的傅氏变换是的周

10、期函数， 周期为2。 (3) 复序列傅氏变换的 对称性 2.5 离散信号的z变换 1.z变换的定义及其收 敛域 对于一个序列x(n)，其z变换的定义为 其中z为复变量，也可记作Zx(n) =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。 对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：Z ：X(z)存在收敛区域。 其内径R-与外径R+分别取x(n)在n 和n-时的形状。 z变换收敛域的概念很重要，不同的序 列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域 却不同，所以应该特别注意，只有当z变换 的表达式与收敛域都相

11、同时，才能判定两 个序列相等。 根据以上讨论，可以概括为 (1) 对右边序列(n0存在)， zR-收敛，且R-是右序列 的极点。 (2) 对左边序列(n0存在) ，zR+收敛，且R+是左边 序列的极点。 (3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列 ，最外极点之外的区域为收敛域；对 左边序列，最内极点之内的区域为收 敛域，如图2-31所示。 (4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分 ，则z变换不存在。 2.系统传递函数H(z)的频域 表示 描述线性非移变系统的差分方程为 对上式方程两边取z变换为 在Mat

12、lab中，reqz函数计算幅度和相 位响应，它有如下5种调用方式。 (1)H，w freqz(b，a，N) b和 a分别表示分子和分母的系数向量 ，与 filter(b，a，x)函数中的相同。此函数 在单位圆上半部上等间隔的计算N点频率 响应，返回该系统的 N点频率矢量 w和 N 点复数频率响应矢量 H。如果 N没有说明 ，则缺省值为 512。 (2)H，w freqz(b，a， N，whole) 在整个单位圆上等间隔的计算N点 频率响应。 (3) Hfreqz(b，a， w) 它返回矢量 w指定的那些频率点上 的频率响应，通常在 0到之间。 (4)H，F freqz(b，a，N，Fs)和H，

13、F freqz(b，a，N，whole ，Fs) 给定取样频率 Fs，单位为 Hz；返回 单位为 Hz的频率矢量 F。 (5) Hfreqz(b，a，F ，Fs) 给定单位为 Hz的取样频率Fs，返回 矢量F指定的那些频率点上的复数频率响应 ，单位也是Hz。 3.z反变换 z反变换关系式可以利用柯西积分定理 推导出来，柯西定理为 式中c是一个逆时针方向环绕原点的围 线。 (1) 幂级数 法 幂级数法也就是长除法 ，对于给定的z变换X(z)，可 以根据它的收敛域判定序列 x(n)是右边序列还是左边序 列，或是双边序列。 (2) 部分分式法 当x(z)序列为有理函数时，可将x(z) 写成一个和式为

14、 因为，对于右边序列存在如下变换 关系 (3) 留数法 我们知道 式中c是X(z)收敛域内的积分围线。对 于n0时，对应右边序列，此时极点在c内 ，对 n0 时，对应左边序列。此时极点 在c外，根据留数定理有 (4) Matlab 的实现 在Matlab 中，函数residuez 计算有理 函数的留数Rj、极点pj和直接项系数Cj，设 有多项式如下： B(z)和 A(z)分别是分子分母多项式， 它们按z-1递增顺序排列。 4.因果非移变系统的稳 定性，收敛区与极点的关 系 正如在式(2-56)中看到的，线性非移 变系统的系统函数H(z)是具有实系数z的有 理函数。现在来讨论系统函数的极点与系

15、统稳定性和收敛区的关系，亦即证明系统 函数的极点分布将决定系统是否稳定。 假设有一N阶因果系统，系统函 数为H(z)，为方便起见，设H(z)只有 单阶极点，这样系统的单位取样响应 由式(2-67)给出 由以上的讨论清楚看到，因果 稳定系统的收敛区域包括单位圆以 及以外的整个z平面。因而，因果 非移变的稳定系统为 (1) 极点都在单位圆内； (2) 收敛区域为lz。 5.z变换的性质 (1) 线性 设X(z)与Y(z)分别是x(n)与y(n)的z变换 ，即 (2) 序列的移位 设序列x(n)的z变换为 Zx(n)=X(z) Rx-|z|Rx+ (3) 乘以指数序列 如果序列x(n)乘上指数序列an(a可以是 复数)，则 Zx(n) = X(z) Rx_|z|Rx+ (4) X(z)的微分 序列x(n)之z变换的导数乘以(-z)等于 x(n)经线性加权后的z变换，即 (5) 复序列的共轭序列 (6) 初值定理 如果n0时，x(n)为零，则 (7) 序列的卷积 如果w(n)是序列x(n)和y(n)的卷积，则