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1、第五章 频率分析法 以控制系统的频率特性频率特性作为数学模型 主要以波德图 (Bode)来作为分析工具 分析控制系统的动态性能与稳态性能 5.1 频率特性频率特性 一、基本概念 系统传递函数 令：s=j，得到另一个复变函数， 即频率特性频率特性 实部、虚部实部、虚部表示表示 P P( () )、Q Q( () )分别为频率分别为频率的函数的函数 幅值、幅角表示 A A( () )、 ( () )分别为频率分别为频率的函数的函数 线性系统的稳态正弦响应 引例51 RC电路如图所示 写成幅值与幅角表达式 幅频特性 相频特性 两条特性曲线如图。 二、频率特性的定义频率特性的定义 已知线性定常系统，输
2、入信号为r(t)，其付 氏变换存在为R(j)。系统的输出信号为c(t)， 其付氏变换为C(j) ， 定义线性定常系统的频率特性为输出信号的 付氏变换C(j)与输入信号的付氏变换R(j)之 比，表为 关于频率特性的讨论 （1）付氏变换的存在条件 满足狄里赫莱条件 即绝对值积分存在，这限制了付氏变换在许 多场合下的应用。 因此，许多常用的时域函数没有付氏变换， 如阶跃函数，正弦函数等。 （2）频率特性与微分方程的关系 微分方程为 类似拉氏变换，方程两边作付氏变换 输出与输入的付氏变换的比值 所以频率特性G(j)是在频率域中来表示线性 定常系统的数学模型。 （3）付氏变换与拉氏变换的关系 阶跃函数，
3、增加衰减因子e-t，0， 满足狄里赫莱条件，其付氏变换存在 付氏变换是拉氏变换在s= j 时的特例。 三、频率特性的数学表示及作图 1、极坐标图 极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图 复变函数G(j)表为实部、虚部 或表为模、相位角 复平面曲线如图所示。 曲线实轴对称 不便于徒手作图 2、对数坐标图又称为波德（Bode）图 由于 分别作两张图A()幅频特性，是频率的函数 ()相频特性，是频率的函数 如一阶RC网络。 徒手描点不方便， 展示不清晰， 分别将 A()、() 作对数变换即成为 波德（Bode）图。 对数幅频特性 L() 将两坐标轴分别取对数作为新的坐标轴如图所示。 纵轴：
4、纵轴： 对数相频特性 () 纵轴： () 不取对数纵轴： 一阶RC网络的频率特性与对数频率特性的比较 波德图优点： （1）波德图展宽频带：可视频带可视频带( (粗粗), ), 表示频带表示频带( (精精) ) （2）基本环节都可以由渐近线画出渐近线画出 （3）叠加作图叠加作图 作图方便。 例如 对数幅频特性 对数相频特性 5.2 典型环节的频率特性 一、比例环节 频率特性波德图 幅值为 幅频特性 幅角为 相频特性 极坐标图 二、积分环节 频率特性 幅值为 幅角为 极坐标图 波德图 幅频特性 相频特性 三、微分环节 频率特性 幅值为 幅角为 极坐标图 波德图 幅频特性 相频特性 四、一阶惯性环节
5、 频率特性 极坐标图 实部与虚部表达式 模角表达式 幅值为幅角为 由于 可以证明，轨迹为一圆。 波德图 对数幅频特性 可用渐近线作图 交点为 对数相频特性 两边反对称。 渐近线作图的折线误差 处应有最大误差，代入模表达式 误差特性如图 误差修正如图。 五、一阶微分环节 频率特性 极坐标图 幅频特性 相频特性 波德图 对数幅频特性 对数相频特性 可依一阶惯性环节反 对称画出。 六、二阶振荡环节 传递函数 令为时间常数，代入上式 频率特性为 极坐标图 幅频特性相频特性 极限点有 由于幅角单调减 幅值先增后减， 有极值 由 谐振频率 谐振峰值 阻尼比不同时， 极坐标图如图所示。 波德图 对数幅频特性
6、 渐近线作图 粗实线所示，交点为 阻尼比不同时 0.707无谐振峰值 0.707临界谐振 0.707有谐振峰值 3条特性如图所示。 二阶振荡环节波德图 对数相频特性 由于 三个特征角度 阻尼比不同时，在 邻域角度变化率不同如图。 二阶振荡环节波德图 七、二阶微分环节 传递函数 频率特性 极坐标图 波德图 参照二阶振荡环节， 横轴对称画出。 八、延迟环节 传递函数 频率特性 幅值恒为1 幅角 极坐标图波德图 5.3 控制系统开环频率特性作图 一、开环对数频率特性作图 结构图 开环传递函数 开环频率特性 分解基本环节 则 开环对数幅频特性 开环对数相频特性 （1）典型环节叠加作图 例52 系统开环
7、传递函数为 作开环系统波德图。 解 写出基本环节 1、 2、 3、 4、 5、 对数幅频特性 在图上作叠加合成 对数幅频特性 作出各基本环节的对数相频特性如图，叠加，得到 叠加时，粗略地做环节特征点叠加即可， （2）转折渐进作图 由于 步骤一： 确定低频段斜率和低频段高度，作出低频段曲线 至第一转折频率，在低频段有 在低频段作出Lo低和0低。 步骤二： 由于 全部为一阶因子或者二阶因子，均在转折频率处发生 向上或者向下转折，斜率分别为20dB/dec， 40dB/dec等。从低频段到高频段逐步前进，以渐进 方式作出折线特性， 例53 已知单位反馈系统的开环传递函数为 作对数开环频率特性。 解
8、低频段为 为=1.58处过0dB线的积分特性。作斜率为-20dB/dec ， 过=1.58的斜线如图所示。 转折特性为 作转折渐进表（幅频特性）： 转折渐进，作出折线图。 对数相频特性 低频段特性0低= -90 高频段特性0高= -180 每一个转折频率处，有：一阶因子 45 特征点， 二阶因子 90 特征点，可作出 ()。 渐进顺 序 (1+50s)-1(1+10s)(1+s)(1+0.2s+0.52s2)-1 转折频 率 0.020.112 转折斜率-20dB/+20dB/+20dB/-40dB/ L()与()阶的渐进作图。 二、开环极坐标图作图 由于： 因此极坐标图需要描点作图。但是，系
9、统分析，特别 是稳定性分析，可以徒手作极坐标草图。 开环频率特性为 其中， 极坐标图的起点 由于所以 模角 所以不同时，极坐标图的起点如图所示。 极坐标图的终点 由于 模角 所以，极坐标图的终点如图所示。 坐标轴穿越点 与 单位圆穿越点 坐标轴穿越点处，为角度的整数倍角。 单位圆穿越点处，模为单位 1。 例54 已知开环传递函数为 试作其极坐标草图。 解 由于 =1，起点位于负虚轴无穷远处。 由于n-m=2，曲线以相位角-180趋于原点 。 幅角为 增加时， ()单调减， 趋势作图如图所示。 该题简单，可由解析法作图。 解析法作图 近似草图解析法作图 例55 开环传递函数为 试作出极坐标图的草图。 解 由于 =2，曲线起于负虚轴。 由于n-m=3，曲线以 -270 终于原点。 相角由 -180 先减后增，作草图。 确定穿越点：穿过负实轴如图。 增益K可以决定A()的大小， 即穿过负实轴时模的大小如图。 三、最小相位系统 引例56 已知两系统G1(j) ，G2(j) 幅频特性 相频特性 G1(j) ，G2(j)有更小的相位角。 定义： 开环零点与开环极点全部位于s的左半平面的系统 为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。
