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1、 第三章 多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S=w，若随机变量X1(w),X2(w),Xn(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),Xn(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,Xn）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题：1（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2分别研究各个分量X,Y的概率分布边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal 3X与Y的相互关系；4（X,Y）函数的分布。 3.1 二维随机变量的分布一离散型随机变量 1联合分布律 定义
2、3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2,取这些值的概率为 pij=P(X,Y)=(xi,yi)=pX=xi,Y=yii,j=1,2, (3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下： Y X y1 y2 yj X的边缘分布率X1p11 p12 p1j P1.X2p21 p22 p2j P2M M M MMxipi1 pi2 pij PiMM M MMY的边缘分布率P1 p2 M pj 1 性质
3、： (1) pij 0，i, j=1,2, (2) =1 2边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 pij= PX=xi,Y=yi i, j=1,2, 分量X和Y的分布律分别为 pi.=PX=xi i=1,2, 满足pi.0S pi.=1 p.j= pY=yij=1,2, p.j0S p.j=1 我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： pi.=PX=xi=PX=xi, S=PX=xi,(Y=yj) =PX=xi,Y=yj=pij (3.4)同理可得 p.j
4、 =pij (3.5)例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。解： Y X123X的边缘分布率11/3001/3p121/61/601/3p231/91/91/91/3p3Y的边缘分布率11/185/181/91P1p2p3二联合分布函数与边缘分布函数1定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令 F(x,y)=PXx,Yy (3.7)则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。 2F(x,y)的性质： 性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1x2,对任意的实数y，则有
5、F(x1,y)F(x2,y)；若y1y2,对任意的实数x，则有 F(x,y1)F(x,y2)。 性质2 对于任意的实数x,y,均有 0F(x,y)1, F(x,y)=0, F(x,y)=0, F(x,y)=1。 性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有 F(x,y)=F(x0,y), F(x,y)=F(x,y0)。 性质4 若x1x2, y1y2, 则 F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)0 （X,Y）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=Px1Xx
6、2,y1Yy2例 2 P71,照书上讲。3边缘分布(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，称它们为X，Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：FX(x)=PXx=PXx,-Y+=F(x,+)，FY(y)=PYy=P-X2,Y3)=1- P(X2,Y3)? 三连续性随机变量 1联合概率密度 定义3.3 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y均有 F(x,y)= （3.12)则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。 2f(x,y)有如下性质： 性质1 f(x,y
7、)0 性质2 =1 性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有 性质4 若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D内记为(X,Y)D,则 P(X,Y)D= （3.16）注：在f(x,y)非0域与D公共部分积分有非0值。P71例2 例3：（第一版书上例3.3） 设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) PX1(3)P(X,Y) D，其中D=(x,y):x+y1; (4)PX2Y解：注意的非零域为H（1），当时， 其他（2）PX1=1- PX1=1-Fx(1)=1- F(1,+) = (3) P(X,Y)D= = (4) PX2Y=
8、 = = =注是的概率密度，即=可知 PX2Y=1-. 3边缘概率密度 设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y的边缘分布函数分别为FX(x)、FY(y)。利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得 FX(x)=F(x,+)= (3.17) FY(y)=F(+,y)= (3.18)记：fX(x)= 为X的边缘概率密度函数；fY(y)= 为Y的边缘概率密度函数。例2： P74例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=其中均为常数，且则称(X,Y)服从参数为的二维正态
9、分布,通常记为 (X,Y)服从于N。求：(X,Y)的边缘概率密度 fX(x) ,fY(y)。解：令：且中e的指数部分改写为： 是的积分函数，积分=1。即知：X服从于，同理：Y服从于结果表明：（1）二维正态分布，其边缘分布都是一维正态分布和 。而反之不然。（2）二维R.V.边缘分布是由联合分布唯一确定。（见第一版习题3.1）例4： （第一版 书上例3.4） 设(X,Y)在圆域D=(x,y): x2+y2 r2(r 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为 f(x,y)= 求(1)PX2+Y2; (2)(X,Y)的边缘概率密度函数fX(x) ,fY(y)。 3.3 条件分布由条件概率引出条件概率分布的
10、概念。定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称 例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。解：定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为，记为在条件Y=y下X的条件概率密度，则P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。公式3.4和3.5.例2 P79，例3 P80，3.4 随机变量的独立性 1概念： 定义3.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分别为FX(x), FY(y)。 若对任意的实数x
11、,y，均有 F(x,y)=FX(x)FY(y) (3.30)即 PXx,Yy=PXxPYy则称X,Y相互独立。例1 电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位千小时）。已知X和Y的联合分布函数为：,(1) 问X与Y是否独立？解：独立。因为： 2判断两个随机变量是否独立的定理 定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x1x2,y1y2,均有 Px1Xx2,y1Yy2=Px1XX2 P y1x,Yy=PXxPYy 定理3.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分别为pij, pi. ,p.j, i,j=1,2,则 X,Y相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有 pij=pi.p.j 即 PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj定理3.3 设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为fX(x) ,fY(y)，则X,Y相互独立的充要
