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1、人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题我们以前学过哪些线段最短的问题？我们以前学过哪些线段最短的问题？1.1.两点间线段最短；两点间线段最短；2.2.连连接接直直线线外外一一点点与与直直线线上上各各点点的的所所有有线线段段中中，垂线段最短。垂线段最短。 通常把以上两个问题称为通常把以上两个问题称为“最短路径问题最短路径问题”，今天，我们来学习新的最短路径问题！，今天，我们来学习新的最短路径问题！我们以前学过哪些线段最短的问题？1.两点间线段最短；2.连接一、饮马问题一、饮马问题 如如图图，牧牧马马人人从从马马棚棚A牵牵马马到到河河边边 l 饮饮水水，然
2、然后后再再到到帐帐蓬蓬B问问：在在河河边边的的什什么么地地方方饮饮水水，可可使使 所所 走走 的的 路路 径径 最最 短短 ？ 一、饮马问题 如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 分析：分析：将将A A，B B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l l 抽象为一抽象为一条直线设条直线设 C C 为直线上的一个动点，上面的问题就为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点转化为：当点C C 在直线在直线 l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC + +CB CB 的和最小？的和最小？lABCC转化为数学问题转化为数学问题 分析：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线设联
3、想联想 如如图图所所示示，点点A A、B B分分别别是是直直线线l l异异侧侧的的两两个个点点，如如何何在在l l上上找找到到一一个个点点，使使得得这这个个点点到到点点A A，点点B B的的距离的和最短？距离的和最短？两点之间，线段最短两点之间，线段最短. . 连连接接ABAB，与与直直线线l l相相交交于于一一点点，这这个交点即为所求个交点即为所求. .B Bl lA A联想 如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何思考：思考：能把能把A A、B B两点从直线两点从直线 l l 的同侧转化为异侧吗？的同侧转化为异侧吗？分析：分析：lABClABC思考：能把A、B两点从直线 l 的同侧
4、转化为异侧吗？分析：l作法及思路分析作法及思路分析1.1.作点作点 B B 关于直线关于直线 l l 的对称点的对称点 B B ，连接，连接CBCB。3.3.连连接接ABAB两两点点，线线段段ABAB与与直直线线 l l 的的交交点点C C 的的位位置即为所求。置即为所求。2.2.由由上上步步可可知知 AC AC + + CB CB = = AC AC + + CBCB，即即把把A A、B B 两两点从直线点从直线 l l 的同侧转化为异侧。的同侧转化为异侧。BlABC作法及思路分析3.连接AB两点，线段AB与直线 l 的交证证明明：如如图图，在在直直线线l l 上上任任取取一一点点C C（与
5、与点点C C 不不重重合合），连连接接ACAC，BCBC，B BC C由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC BC = =B BC C，BCBC=B BC CAC AC + +BCBC= = AC AC + +BC BC = = AB AB，ACAC+ +BC BC = = AC AC+ +BCBC在在ABCABC中，中，ABAB ACAC+ +BCBC，AC AC + +BC BC ACAC+ +BCBC即即AC AC + +BC BC 最短最短你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC AC + +BC BC 最短吗？最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接归
6、纳归纳lABClABCBlABC转化为数学问题转化为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题提示：提示：本题也可作本题也可作A A点关于直线点关于直线l l的对称点的对称点归纳lABClABCBlABC转化为数学问题用旧知解决新知变式练习变式练习1如图，如图，牧马人牧马人要把马要把马从马棚从马棚A牵牵到草地边吃草，然后到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚到河边饮水，最后再回到马棚A. 问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径. .草 地小 河A变式练习1问题：请你
7、确定这一过程的最短路径.草 如图，在如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A,要使要使AM+MN+NA最小最小,点点M、N应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置 ?l1l2AMNAA转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题分别做点分别做点A关于关于l1、l2的的对称点对称点A 、 A ，连接，连接A 、 A与与l1、l2的交点的交点M、N即为所求。即为所求。如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA 最小,点变式练习变式练习2 2如如图图：某某一一天天牧牧马马人人要要从从马马棚棚A A牵牵出出马马到到草草地地边边吃吃草草，再再到到河河边边饮饮水水，最最后后回回到
8、到帐帐篷篷B B，请请你你帮帮他他确确定定这这一一天的最短路线。天的最短路线。变式练习2如图，在如图，在l1、l2之间有点之间有点A、B,要使要使AP+PQ+QB最小最小,点点P、Q应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置 ?转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题转化为数学问题分分别别做做点点A、B关关于于l1、l2的的对对称称点点A 、 B ，连连接接A 、 B与与l1、l2的的交交点点P、Q即为所求。即为所求。PQABBl1l2A 如图，在l1、l2之间有点A、B,要使AP+PQ+QB最小,(3)两点在两相交两点在两相交直线内部直线内部2.关键：关键：作对称点，利用轴对称的性质将线
9、段转化，从而利用作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决。来解决。(2)(2)一点在两相一点在两相一点在两相一点在两相交直线内部交直线内部交直线内部交直线内部(1)(1)两点在一条两点在一条两点在一条两点在一条直线同侧直线同侧直线同侧直线同侧l1l2l l1 1l l2 21.1.学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题(3)两点在两相交直线内部2.关键：(2)一点在两相交直线内 如图所示，如图所示，A A 和和B B 两两地在一条河的两岸，现要地在一条河的两岸，现要在河
10、上造一座桥在河上造一座桥MNMN，桥造，桥造在何处可使从在何处可使从A A 到到B B 的路的路径径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要两岸是平行的直线，桥要与河垂直与河垂直. .）二、造桥选址问题二、造桥选址问题 如图所示，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造当点当点N N在直线在直线b b的什么位置时，的什么位置时，AM AM + + MN MN + +NBNB最小最小？由于河岸宽度是固定的，因此当由于河岸宽度是固定的，因此当 AM AM + + NB NB 最小最小时，时，AM AM + + MN MN + +NBNB最小最小. .当点N在直线b的
11、什么位置时，AM + MN +NB最小？由于将将AM AM 沿沿与与河河岸岸垂垂直直的的方方向向平平移移，点点M M移移到到点点N N，点点A A移移到到点点AA，则则AA AA = = MNMN，AM AM + + NB NB = = AN AN + + NBNB. . 这这样样问问题题就就转转化化为为：当当点点N N在在直直线线b b的的什什么么位位置时，置时， ANAN+ +NBNB最小？最小？将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A连接连接ABAB与与b b相交于相交于N N，N N点即为所求点即为所求. .连接AB与b相交于N，N点即为所求.1.1.作图在直线作图在
12、直线l l上找一点上找一点C C，使，使AC+BCAC+BC最小最小. .AB(1).1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.AB(1)2.2.如如图图，已已知知牧牧马马营营地地在在P P处处，每每天天牧牧马马人人要要赶赶着着马马群群先先到到河河边边饮饮水水，再再带带到到草草地地吃吃草草，然然后后回回到到营营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线. .解：解：如图如图AP+ABAP+AB即为即为最短的放牧路线最短的放牧路线. .2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮3. 3. 如如图图，M M、N N分分别别是是ABCABC的的边边
13、ABAB、ACAC上上的的点点，在边在边BCBC上求作一点上求作一点P P，使，使PMNPMN的周长最小的周长最小. .解解：如如图图，作作点点M M关关于于BCBC的的对对称称点点M M，连连接接M MN N，交交BCBC于于点点P P，则则PMNPMN的周长最小的周长最小. .3. 如图，M、N分别是ABC的边AB、AC上的点，在边B4.4.如如图图，已已知知直直线线MNMN与与MNMN异异侧侧两两点点A A、B B，在在MNMN上上求求作一点作一点P P，使，使PA-PBPA-PB最大，请说明理由最大，请说明理由. .4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点解解：如如图图，作作B B点点关关于于MNMN的的对对称称点点B B，连连接接ABAB并并延延长长，交交MNMN于于点点P P，点点P P即即为为所所求求. . 理理由由：点点A A，B B，P P在同一条直线上时，在同一条直线上时，PA-PBPA-PB最大，即最大，即PA-PBPA-PB最大最大. .解：如图，作B点关于MN的对称点B，连接AB并延长，交M感谢聆听
