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1、平面向量教学建议北京师大附中北京师大附中-李贤军李贤军与大纲版的比较与大纲版的比较大纲大纲课标课标(人教人教B版版)新增新增向量的基线、位置向量；轴上向量的基线、位置向量；轴上向量的坐标及其运算；直线的向量的坐标及其运算；直线的向量参数方程；向量的正交分向量参数方程；向量的正交分解；向量在解析几何中的运用解；向量在解析几何中的运用删减删减 线段的定比分点、线段的定比分点、正余弦定理以及解正余弦定理以及解斜三角形斜三角形平移公式平移公式作业、（中点坐标公式）作业、（中点坐标公式）（数学（数学5）变化变化 向量的射影向量的射影向量数量积的运算律的证明向量数量积的运算律的证明向量在物理中的应用（向量
2、在物理中的应用（研究性学习研究性学习 正式内容）正式内容）二二. .与大纲版的比较与大纲版的比较大纲大纲课标课标(人教人教B版版)保留保留向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及运算律、面向量的坐标运算，平面向量的数量积及运算律、平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示;课时课时 25 12全章教学的中心向量的概念向量的概念: 方向、模方向、模向量的表示法：向量的表示法： 字母、图形、坐标字母、图形、坐标具体教学建议具体教学建议2.1.1向量的概念向量的概念1课时课时重点：重点：难点：难点：建议建议：介
3、绍向量产生的背景及其在数学中的作用；介绍向量产生的背景及其在数学中的作用；从物理背景和几何背景入手；从物理背景和几何背景入手；以概念为核心，以向量的几何表示为重点，补充单以概念为核心，以向量的几何表示为重点，补充单位向量；位向量；流程：流程：介绍介绍物理中的物理中的向量向量向量的向量的概念概念向量的向量的表示表示向量的模（零向向量的模（零向量、单位向量）量、单位向量）平行向量平行向量位置向量位置向量向量的概念向量的概念对向量的理解对向量的理解（共线）（共线）向量的地位及作用向量的地位及作用一一.向量产生的背景向量产生的背景 向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理向量又称为矢量，最初被应用于
4、物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到边形法则来得到“向量向量”一词来自力学、解析几何中的有一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿 向量向量自由向量自由向量滑动向量滑动向量固定向量固定向量向量向量几何向量几何向量n
5、维向量维向量二二.向量在近现代数学中的地位和作用向量在近现代数学中的地位和作用既是数学运算的一次飞跃，又是其它数学运算的基础。既是数学运算的一次飞跃，又是其它数学运算的基础。数学中的运算包括数的运算、字母运算、向量运数学中的运算包括数的运算、字母运算、向量运算、函数运算、映射变换、矩阵运算等算、函数运算、映射变换、矩阵运算等体现近现代数学的思想体现近现代数学的思想向量对加法运算构成群；向量、实数对向量加向量对加法运算构成群；向量、实数对向量加法、数与向量乘法构成线性空间；给向量赋以长度，法、数与向量乘法构成线性空间；给向量赋以长度，向量、实数对向量加法、数与向量乘法构成线性赋向量、实数对向量加
6、法、数与向量乘法构成线性赋范空间。因此，向量是抽象代数、线性代数、泛函范空间。因此，向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型分析中的基本数学模型问题问题4.在下图中，四边形在下图中，四边形ABCD是平行是平行四边形，四边形，B是线段是线段AE的中点。哪些向量的中点。哪些向量是相等向量？哪些向量是平行向量？是相等向量？哪些向量是平行向量？ABCDE5.5.已知已知|AB|=8,|AC|=5,|AB|=8,|AC|=5,则则|BC|BC|的取值范围是的取值范围是_._.概念题：概念题：例例2:判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(1)若若|a|=|b|,则则a=b(2)若两个向量相等
7、，则它们的起点相同若两个向量相等，则它们的起点相同, 终点相同终点相同(3)若若AB=DC,则四边形则四边形ABCD是平行四边形是平行四边形(4)若若a=b,b=c, 则则a=c(5)若若a/b,b/c,则则a/c(6)模为模为0的向量与任一向量平行的向量与任一向量平行(7)平行向量不一定是共线向量平行向量不一定是共线向量(8)单位向量都相等单位向量都相等 （9）单位向量都共线单位向量都共线具体教学建议具体教学建议2.1.22.1.3向量的加法、减法向量的加法、减法1课时课时重点：重点：难点：难点：建议：建议：整体把握，加法与减法齐头并进；整体把握，加法与减法齐头并进；借助于物理中力的合成与分
8、解，加强几何直观借助于物理中力的合成与分解，加强几何直观流程：运算定义、法则、性质、简单识图（课本）流程：运算定义、法则、性质、简单识图（课本）向量的加减法的法则向量的加减法的法则对向量的加减法的定义的理解对向量的加减法的定义的理解具体教学建议具体教学建议2.1.4数乘向量数乘向量2.1.5向量共线的条件向量共线的条件1课时课时重点：重点：难点：难点：建议：建议：数乘向量与数乘向量与向量共线合二为一；向量共线合二为一；将将“轴上向量坐标运算轴上向量坐标运算”暂时放弃暂时放弃; ;习题以直接应用为主；习题以直接应用为主；运算律、平行向量基本定理的证明运算律、平行向量基本定理的证明*数乘向量的定义
9、和运算律数乘向量的定义和运算律运算律、平行向量基本定理运算律、平行向量基本定理具体教学建议具体教学建议向量线性运算的习题课向量线性运算的习题课1课时课时重点：重点：难点：难点：建议：平面几何的简单性质建议：平面几何的简单性质几种运算的巩固与小型综合几种运算的巩固与小型综合熟练准确熟练准确1.在平行四边形在平行四边形ABCD中中AC、BD相交于相交于O,设设AB= a, AD=b,试用试用a, b表示表示AC、BD、OA,OB.2.在在 ABC中，中，C是是AB边上的中点，求证：边上的中点，求证：4.设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线，使，使ke1+e2和和e1+ke2共线共线
10、；求试确定实数试确定实数k的值的值。 3.课本课本P90（三角形中位线）（三角形中位线）（课本P97）平面向量基本定理平面向量基本定理1课时课时重点：重点：难点：难点：建议建议：对优秀学生应要求定理的证明；对优秀学生应要求定理的证明；例习题以例习题以“唯一的一对实数唯一的一对实数”为核心为核心例例1 1已讲，例已讲，例2 2不提不提“向量的参数方程式向量的参数方程式”2.2向量的分解与坐标运算向量的分解与坐标运算2课时课时+1课时课时平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理的证明平面向量基本定理的证明例例1（课本（课本P97的例的例2）2.设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线
11、不共线，ABe1+e2，BC2e1+8e2，CD3（ e1e2）求证：）求证：A、B、D共线共线；3.设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线，ae1+e2，b3e12e2，CD2e13e2），且），且cab求求、的值的值2课时课时重点：重点：难点：难点：建议建议：补充数轴上向量的坐标；补充数轴上向量的坐标；第一课时为两节基本内容，完成课本例题；第一课时为两节基本内容，完成课本例题；向量共线的坐标表示最好采用等积式向量共线的坐标表示最好采用等积式第二课时为综合应用（习题课）第二课时为综合应用（习题课）2.2.2向量的正交分解与坐标运算向量的正交分解与坐标运算-2.2.3向量共线的条
12、件向量共线的条件熟练准确的应用熟练准确的应用平面向量及其运算的坐标表示平面向量及其运算的坐标表示第二课时4.已知已知A(4,0),B(4,4),C(2,6)，O为坐标原点为坐标原点 求求AC与与OB的交点的交点P的坐标的坐标.1.已知已知O为坐标原点，为坐标原点，A(1,2),B(4,5)，且，且OP=OA+tAB，四边形四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出相应的实能否为平行四边形？若能，求出相应的实数数t；若不能说明理由；若不能说明理由.2.已知已知A(1,-2)，若，若AB与与a=(2,3)同向且同向且 ，求求B点坐标点坐标.3.已知已知A(2,3),B(-1,5) （1）若点）若点
13、C(4,m)在直线在直线AB上，求上，求m的值；的值； （2）若）若AD= AB ,求求D点坐标点坐标.具体教学建议具体教学建议2.3.1平面向量的数量积平面向量的数量积1课时课时重点：平面向量的数量积重点：平面向量的数量积难点：准确运算；实数运算的难点：准确运算；实数运算的“负迁移负迁移”建议：建议：由于物理知识不够，直接给出定义；由于物理知识不够，直接给出定义； 注意射影与射影数量的区别注意射影与射影数量的区别； 重视重视“负迁移负迁移”； 强化向量垂直与性质强化向量垂直与性质 a a a 2习题：课本课本P108P108例例1 1、P109P109例例2 2；例例3.3.在平行四边形在平
14、行四边形ABCDABCD中，中，AB=3,AD=4DABAB=3,AD=4DAB60600 0，求求AD AD BC BC；AB AB CDCD；AB AB DA DA例例4.4.在在ABCABC中，中，B= 90B= 900 0，AB=BC=1AB=BC=1，求，求AB AB BC BCBC BC CA CACA CA BA BA具体教学建议具体教学建议2.3.2向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律1课时课时1课时课时重点：向量的数量积的运算律及其应用重点：向量的数量积的运算律及其应用难点：向量的数量积对加法的分配律难点：向量的数量积对加法的分配律建议：建议：先讲性质先讲性质(a(a b
15、)=(a b)=(a) ) b ba a (b (b) )； 对分配律的证明可以比课本简化对分配律的证明可以比课本简化； 指出向量和的数量积满足多项式乘法法则指出向量和的数量积满足多项式乘法法则； 强化向量垂直与性质强化向量垂直与性质 a a a 2适当补充例题：适当补充例题：1. .已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为600，| a |2, |b|5，求，求（1）(2a b) a , (2) | a-2b |2 .已知向量a与b不共线，| a |3, |b|4，若akb与akb3. 若| a |3, |b|4，若c=ab且且c a求a、b的夹角具体教学建议具体教学建议2.3.3平面向量的
16、数量积的坐标运算平面向量的数量积的坐标运算1课时课时重点：重点：向量的数量积的坐标运算及向量垂直向量的数量积的坐标运算及向量垂直难点：难点：熟练准确熟练准确建议：建议：例题难度可略高于课本例题难度可略高于课本课本课本P116P116的第的第5 5、第、第6 6题题2. 已知向量已知向量a（1,2）与与b（2，-2）求与）求与 a垂直的单位向垂直的单位向量的坐标量的坐标3 .已知向量已知向量OA（1,7）与与OB（5,1），），OP=(2,1)，点，点Q在直线在直线OP上，当上，当QA QB最最小时，求小时，求Q点的坐标点的坐标.1.已知已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求，求si
17、n ABC的的值值.具体教学建议具体教学建议四四.向量的应用向量的应用2课时课时1课时课时重点：用平面向量解决几何问题重点：用平面向量解决几何问题难点：选择恰当的方法难点：选择恰当的方法建议：建议：运用向量知识解决平面几何中的平行垂直相等夹角等问题，运用向量知识解决平面几何中的平行垂直相等夹角等问题，在解析几何中的运用应谨慎在解析几何中的运用应谨慎与物理老师探讨。与物理老师探讨。1.课本课本P118例例3；2.在在Rt ACB中，中， ACB900，BC=6,AC=4，E、F分别是分别是AC、BC的中点，的中点，AF、BE交于点交于点M，求，求sin AMB。3. 2004年湖北省高考题第年湖
18、北省高考题第17题题ABEFMC具体教学建议具体教学建议五五.小结复习小结复习2课时课时1课时课时重点：重点：梳理知识结构，通过典型例题突出重点知识、梳理知识结构，通过典型例题突出重点知识、抓住重要方法。抓住重要方法。 难点：选择恰当的方法难点：选择恰当的方法建议：建议：从字母、图形、坐标三各方面进行梳理总结从字母、图形、坐标三各方面进行梳理总结例习题不必面面俱到，应突出重点，茶楼补缺例习题不必面面俱到，应突出重点，茶楼补缺以下供参考以下供参考字母（运算律）字母（运算律）图形图形坐标坐标向量加法减法数乘 Aaabbaba baa（x，y）a b = a + ( b) 若b + x = a，x
19、a ba字母（运算律）字母（运算律）图形图形坐标坐标数量积a b = |a|b|cos a b = |a| OC平行 a b a=ba b 垂直 ab a b = 0 定理baOC （A）30 （B）60 （C）120 （D）1502.点点O是是ABC所在平面内一点，所在平面内一点，若若 则点则点O是是ABC的（的（ ）A.三条内角平分线的交点；三条内角平分线的交点；B.三条边的垂直平分线的交点；三条边的垂直平分线的交点；C.三条中线的交点；三条中线的交点；D.三条高的交点三条高的交点3.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已中，已知点知点A(0,1)和点和点B(-3,4)，若，若点点C在在 AOB的平分线上且的平分线上且 =2,则则 的坐标的坐标=_ 4.O是平面上一是平面上一 定点，定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点是平面上不共线的三个点，动点P满足满足则P的一定通过ABC的（ ）所在的直线 A.中垂线 B.角平分线C.中线 D.高5.ABC满足满足求证：求证： ABC是等边三角形是等边三角形6.ABC中中,AB=2,AC=5, BAC=600,M,N分别是分别是BC,AC中点中点,向量向量 的夹角为的夹角为求求cos 的值的值
