模块3材料力学(应力和变形)

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1、材料力学,模块三 应力和变形,【模块概述】,内力是杆件横截面上的分布内力系的合力或合力偶矩，是截面上连续分布内力的合成结果,而杆件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度，应力及变形等有关。,本模块以应力和变形为主线，讨论分析轴心拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁等杆件的应力分布情况及变形特点,找到应力和变形的计算公式，为强度、刚度和稳定性的计算提供理论依据。,【学习目标】,【学习重点 】,应力、应变、胡克定律的概念； 轴向拉压杆的应力和变形计算； 平面弯曲梁横截面上的应力和切应力的分布及计算； 梁的挠度和转角的计算。,3.1 应力、应变及相互关系,3.1.1 应力,1

2、、应力的概念,构件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与横截面上内力分布的密集程度有关。,试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？,3.1.1 应力,当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：,平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度,我们将内力在一点处的密集程度称为应力。,P称为该截面上该点处的应力。,某点的总应力P 可以分解成: 垂直于截面的法向分量正应力 （拉应力为正值，压应力为负值） 平行于截面的切向分量切应力 （绕研究对象产生顺时针转动趋势时为正值或 左上右下为正）,3.1.1 应力,2、正应力和切应力,应力的单位是帕斯卡（简称帕）（Pa）， 1Pa（

3、帕斯卡）= 1N/m2 工程实际中常采用兆帕（MPa）、吉帕（GPa）等单位。 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa,3.1.1 应力,3、应力的单位,对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，分别由线应变和切应变来度量。,3.1.2 线应变和胡克定律,与正应力相应，单元体沿着正应力方向和垂直于正应力方向产生了伸长和缩短，这种变形称为线变形。,线应变:,为无量纲量值，规定拉应变为正，压应变为负。,胡克定律：,3.1.2 线应变和胡克定律,E-是与材料有关的常数，称为弹性模量。,它是材料力学性质之一，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量E为常数。弹

4、性模量的单位与应力的单位相同。,实验结果表明，若在弹性范围内加载，正应力与正应变成正比，即：,3.1.3 切应变和剪切胡克定律,为无量纲的量值，单位是弧度（rad）。,切应变:,与切应力相应，单元体发生了剪切变形，剪切变形程度用单元体直角的改变量度量。单元体直角的改变量称为切应变，用 表示。,3.1.3 切应变和剪切胡克定律,实验结果表明，若在弹性范围内加载（应力小于某一极限值），切应力与切应变成正比，即,G-是与材料有关的常数，称为剪切弹性模量。,剪切胡克定律：,它是材料的又一力学性质。对同一材料，剪切弹性模量G为常数。剪切弹性模量G的单位与应力的单位相同。,3.1.4 切应力互等定理,平面

5、的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称切应力互等定理。 。,由平衡方程,得,该定理具有普遍性。,在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两,3.2 轴向拉压杆的应力和变形,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,1.横截面上的应力,拉压杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，显然与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力。做如下实验：,现象：横向线1-1、2-2仍为直线，且垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至图示1-1与2-2位置。,拉应力为正，压应力为负。,根据现象可作出假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两横截面之间所有的纵

6、向纤维都伸长了相同的长度。,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,得出结论：轴向拉压时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等。即,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,公式的适用范围： 外力作用线必须与杆轴线重合； 距外力作用点较远部分正确（圣维南原理）； 必须是等截面直杆，截面变化较缓慢时，可近似计算。,对于等直杆:当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面即为危险截面；对变截面杆：则取决于内力值和截面尺寸两个因素，则应对若干个可能的危险截面进行计算并比较才能知道最大应力之所在。,危险截面:最大应力所在的横截面，也就是可能最先破坏的横截面，称为危险截面。,危险点:危险截面上最大应力所在的点 。,2.

7、危险截面及危险点,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,危险点则是由应力在截面上的分布规律来判定的。,轴心压杆危险点的应力,解：(1)作轴力图,【例3.1】已知图示阶梯状直杆若横截面面积为: ,求各横截面上的应力。,(2)求应力,3.斜截面上的应力,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,横截面上：,斜截面上：,总应力：,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,将总应力分解为垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的切应力，则,结论：轴向拉压杆在斜截面上的正应力和切应力随斜截面方位的变化而变化。,3.2.1 轴向拉（压）杆的应力,几个特殊截面上的应力：,1.横截面 = 0，,2.纵截面 = 90，,3.斜截面 =

8、45，,4.斜截面 = -45，,拉压杆的最大正应力发生在横截面上；最大切应力发生在与杆成45斜截面上；平行于杆轴线的纵向截面上无任何应力。,3.2.2 轴向拉压杆的变形,1.轴向拉（压）杆的变形,（1）纵向变形：,伸长量：,纵向线应变 ：,（2）横向变形：,横向变形量：,横向线应变 ：,3.2.2 轴向拉压杆的变形,2.胡克定律,即当杆件的应力不超过某一极限时，其纵向变形与轴力、杆长成正比，与横截面面积成反比。,称为杆的拉伸（压缩）刚度。另外，此式只适用于在杆长度内变形是均匀的情况。,因为 ， ，则根据胡克定律 ，可得胡克定律的另一种表达式为,3.2.2 轴向拉压杆的变形,3.泊松比,或,对

9、于各向同性材料来说，拉压弹性模量E、泊松比及剪切弹性模量G之间有如下的关系:,3.2.2 轴向拉压杆的变形,实验结果表明，当杆件应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比值称为泊松比，为无量纲的量。即,3.3 圆轴扭转的应力和变形,3.3.1 圆轴扭转时的应力,基本思路：,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面假定,物理关系,静力方程,变形几何关系 物理关系 静力学关系,3.3.1 圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,作如下实验：,可看到如下现象：,(l)所有纵线都倾斜了相同角度而成为平行螺旋线，变形很小时近似为一直线，矩形都歪斜成为平行四边形。直角发生了改变，

10、其改变量为 （切应变）。,(2)横向的各圆周线大小、形状以及之间的距离均无改变，只是都绕轴线旋转了一个角度。,3.3.1 圆轴扭转时的应力,根据变形现象作出“平面假设”：圆轴的横截面在受扭变形时保持为平面，并像刚性平面一样绕轴线相对转动。,3.3.1 圆轴扭转时的应力,横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。,横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。,各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。,可得到如下结论：,受扭圆轴的横截面上存在有与截面径向垂直的剪应力。,3.3.1 圆轴扭转时的应力,从受扭圆轴中取出一微段dx，则在dx微段上的楔形单元体的矩形格子abcd

11、变成了平行四边形abcd，如右图所示。直角改变即切应变 的大小为：,又在直角三角形Obb中有：,同一截面上的各点为常量。,2 .物理关系,由剪切胡克定律,得：,由上式可知： 横截面上某点的切应力与该点到圆心的距离成正比； 在同一半径的圆周上各店的切应力值均相等； 在截面中心处切应力为零，截面边缘各点切应力最大，其他各点处的切应变沿截面半径按直线规律变化。,及,3.3.1 圆轴扭转时的应力,3.3.1 圆轴扭转时的应力,切应力沿半径的分布如下图所示：,因为 为垂直于半径平面内的切应变，所以 也与半径 垂直：,3. 静力学关系,圆轴横截面上各微面积上的微剪力对轴心的力矩的总和必须与该截面上的扭矩相

12、等，故有,代入上式可得：,将,3.3.1 圆轴扭转时的应力,式中,就是该截面对形,心的极惯性矩，则得：,代入物理关系式得：,上式中：,抗扭截面模量或抗扭截面系数。,最大切应力：,显然，当 时，即在横截面周边上的各点处剪应力将达到其最大值。,3.3.1 圆轴扭转时的应力,即，圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为：,3.3.1 圆轴扭转时的应力,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面圆轴。,式中：Mx横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量。,尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直

13、空心圆轴，也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。,3.3.2 圆轴扭转时的变形,在圆轴扭转过程中，各横截面像一个个圆盘绕杆轴做相对转动。两个横截面绕杆轴线转动的相对角位移即扭转角，用 表示。,其中，d代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角。,则相距为 的两横截面间的扭转角可表示成：,前面已知：,反映了抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。,对分段等截面直圆轴：,AC和DB梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种平面弯曲称为横力弯曲。 CD梁段内，横截面上只有弯矩而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。,3.4 平面弯曲梁的应力,3.4.1 纯弯曲与横力弯曲,横力弯曲时，各截面上弯矩是不同的

14、；纯弯曲时，各截面上弯矩为一不变的常数值。,同拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的切应力的分析一样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究思路是：,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面、单向受力假设,物理关系,静力方程,变形几何关系 物理关系 静力学关系,1、变形几何关系,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,如右图所示，在梁的侧面画上与轴线平行的纵向线以及与梁轴垂直的横向线，然后在梁纵向对称平面内加一对力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲，观察其变形。,（1）梁上的纵向线都弯成了曲线，且下部分（靠近凸边）的纵向线伸长，上部分（靠近凹边）的纵向线缩短，而中间的一条纵向

15、线长度不变。 （2）梁上的横向线仍为直线，只是互相倾斜了一个角度，不再互相平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直； （3）矩形截面的上部变宽下部变窄。,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,可以观察到以下现象：,平面假设：梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线（中性轴）转了一个角度。 单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩，不存在相互的挤压。,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,根据观察到的变形现象，可作出如下假设：,中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长

16、度不变的纤维层，称为中性层。 中性轴：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。,中性层是对整个梁讲的，而中性轴是就梁的某个横截面而言。,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,从梁中取出的长为dx的微段,变形后其两端相对转了d角,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,距中性层为y处的纵向纤维ab的变形,式中为中性层上的纤维的曲率半径。,则纤维ab的线应变为,原 长：,变形后长：,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,3.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力,对于确定的横截面是一常量。该方程表明中性层等远处的各纵向纤维变形相同，线应变沿截面高度成线性分布，在中性轴上线应变为零，在中性轴两侧分别为拉应变和压应变。,故可得线应变沿截面高度方向